timeline Calculadora de la Sucesión de Fibonacci star

¿Cómo se calcula la sucesión de Fibonacci?

La sucesión de Fibonacci se define mediante una recurrencia sencilla: F(0) = 0, F(1) = 1, y cada término siguiente es la suma de los dos anteriores, F(n) = F(n-1) + F(n-2). Esa única regla genera 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… cada número es simplemente la suma de los dos últimos, lo que hace que la sucesión sea fácil de verificar a mano durante su primera docena de términos aproximadamente.

Lo que es mucho menos evidente es la rapidez con la que crecen los números. En F(30) el valor ya supera los 800.000; en F(100) es un número de 21 dígitos. Los tipos numéricos estándar de 64 bits (usados por la mayoría de las calculadoras y por los números normales de JavaScript) pierden precisión silenciosamente en cuanto un entero supera aproximadamente 9 × 10^15 — un umbral que Fibonacci alcanza alrededor del término 78. A partir de ese punto, una calculadora ingenua muestra un resultado redondeado y ligeramente incorrecto sin ningún aviso. Esta herramienta evita por completo ese problema calculando cada término con aritmética BigInt, que representa enteros de cualquier tamaño de forma exacta, dígito por dígito, sin importar lo grande que llegue a ser n — así que F(100), F(500), e incluso F(1000), salen precisos hasta el último dígito.

Una segunda propiedad muy conocida es la conexión con la proporción áurea: a medida que n crece, el cociente entre términos consecutivos F(n)/F(n-1) converge hacia φ ≈ 1,6180339887…, la misma constante que aparece en las proporciones de un pentágono regular y en la fórmula cerrada de Binet para calcular números de Fibonacci sin recursividad. Los primeros términos la aproximan de forma imprecisa (3/2 = 1,5; 8/5 = 1,6), pero hacia el término 15 el cociente ya es exacto hasta cuatro decimales.

Lo que deberías saber

• Convención de indexación. Algunas fuentes empiezan la sucesión en F(1) = F(2) = 1 en lugar de F(0) = 0. Esta herramienta sigue la convención matemática estándar, F(0) = 0 y F(1) = 1, también usada por la mayoría de los libros de texto y los cursos de informática.
• Ritmo de crecimiento. Cada término es aproximadamente 1,618 veces el anterior, así que el número de dígitos crece linealmente con n — F(1000) tiene más de 200 dígitos, justo el rango en el que las calculadoras de coma flotante fallan y se necesita BigInt.
• Error habitual. Copiar un valor grande de Fibonacci desde una hoja de cálculo o una calculadora que use números de coma flotante estándar (JavaScript o Excel normales, por ejemplo) más allá de aproximadamente el término 78 redondeará silenciosamente los últimos dígitos — siempre conviene comprobar los valores muy grandes con una herramienta diseñada para precisión arbitraria.
• Usos prácticos. Más allá de las matemáticas puras, la sucesión aparece en el análisis de algoritmos (búsqueda de Fibonacci, ejemplos didácticos de programación dinámica), en la descripción de ciertos patrones de crecimiento natural y en los niveles de retroceso usados en el análisis técnico financiero.