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Come si calcola la sequenza di Fibonacci?

La sequenza di Fibonacci è definita da una semplice ricorrenza: F(0) = 0, F(1) = 1, e ogni termine successivo è la somma dei due precedenti, F(n) = F(n-1) + F(n-2). Questa unica regola genera 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… ogni numero è semplicemente la somma degli ultimi due, il che rende la sequenza facile da verificare a mano per la prima dozzina circa di termini.

Ciò che è molto meno ovvio è la rapidità con cui i numeri crescono. Già a F(30) il valore supera 800.000; a F(100) è un numero di 21 cifre. I tipi numerici standard a 64 bit (usati dalla maggior parte delle calcolatrici e dai normali numeri di JavaScript) perdono precisione silenziosamente non appena un intero supera circa 9 × 10^15 — una soglia che Fibonacci raggiunge intorno al 78º termine. Superato quel punto, una calcolatrice ingenua mostra un risultato arrotondato e leggermente sbagliato senza alcun avviso. Questo strumento evita del tutto il problema calcolando ogni termine con l'aritmetica BigInt, che rappresenta interi di dimensione arbitraria in modo esatto, cifra per cifra, indipendentemente da quanto grande diventi n — così F(100), F(500), persino F(1000), risultano precisi fino all'ultima cifra.

Una seconda proprietà ben nota è il legame con la sezione aurea: al crescere di n, il rapporto tra termini consecutivi F(n)/F(n-1) converge verso φ ≈ 1,6180339887…, la stessa costante che si trova nelle proporzioni di un pentagono regolare e nella formula chiusa di Binet per calcolare i numeri di Fibonacci senza ricorsione. I primi termini la approssimano solo grossolanamente (3/2 = 1,5, 8/5 = 1,6), ma già intorno al 15º termine il rapporto è accurato fino a quattro cifre decimali.

Cosa è utile sapere

• Convenzione di indicizzazione. Alcune fonti fanno iniziare la sequenza a F(1) = F(2) = 1 invece che a F(0) = 0. Questo strumento segue la convenzione matematica standard, F(0) = 0 e F(1) = 1, usata anche dalla maggior parte dei libri di testo e dei corsi di informatica.
• Velocità di crescita. Ogni termine è circa 1,618 volte quello precedente, quindi il numero di cifre cresce linearmente con n — F(1000) ha oltre 200 cifre, esattamente l'intervallo in cui le calcolatrici in virgola mobile falliscono e serve BigInt.
• Errore comune. Copiare un grande valore di Fibonacci da un foglio di calcolo o da una calcolatrice che usa numeri standard in virgola mobile (JavaScript normale o Excel, ad esempio) oltre circa il 78º termine arrotonderà silenziosamente le ultime cifre — verifica sempre i valori molto grandi con uno strumento pensato per la precisione arbitraria.
• Usi pratici. Oltre alla matematica pura, la sequenza compare nell'analisi degli algoritmi (ricerca di Fibonacci, esempi didattici di programmazione dinamica), nella descrizione di alcuni schemi di crescita naturale e nei livelli di ritracciamento usati nell'analisi tecnica finanziaria.