حاسبة متتالية فيبوناتشي
أنشئ متتالية فيبوناتشي حتى أي حد تريده، أو انتقل مباشرة إلى حد معين — قيم دقيقة باستخدام حساب ذي دقة عشوائية.
1,027 مشاهدة
كيف تُحسب متتالية فيبوناتشي؟
تُعرَّف متتالية فيبوناتشي بعلاقة تكرارية بسيطة: F(0) = 0، وF(1) = 1، وكل حد لاحق هو مجموع الحدين السابقين له، F(n) = F(n-1) + F(n-2). هذه القاعدة الواحدة تولّد المتتالية 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89… إذ إن كل رقم هو ببساطة مجموع آخر رقمين، مما يجعل التحقق من صحة المتتالية يدويًا سهلًا خلال أول اثني عشر حدًا تقريبًا.
الأمر الأقل وضوحًا بكثير هو مدى سرعة نمو هذه الأرقام. فعند F(30) تتجاوز القيمة 800,000 بالفعل؛ وعند F(100) يصبح الرقم مكونًا من 21 خانة. تفقد أنواع الأرقام القياسية ذات 64 بت (المستخدمة في معظم الآلات الحاسبة وفي أرقام جافاسكريبت العادية) دقتها بصمت بمجرد أن يتجاوز العدد الصحيح نحو 9 × 10^15 — وهو حد تصل إليه متتالية فيبوناتشي عند الحد الثامن والسبعين تقريبًا. وبعد هذه النقطة، تعرض الآلة الحاسبة العادية نتيجة مقرَّبة وغير دقيقة قليلًا دون أي تحذير. تتجنب هذه الأداة هذه المشكلة تمامًا بحساب كل حد باستخدام حساب BigInt، الذي يمثّل الأعداد الصحيحة من أي حجم بدقة تامة، رقمًا برقم، مهما كبرت قيمة n — لذا تخرج F(100) وF(500) وحتى F(1000) دقيقة حتى آخر رقم فيها.
الخاصية الثانية المعروفة هي علاقة النسبة الذهبية: فمع تزايد n، تتقارب نسبة الحدود المتتالية F(n)/F(n-1) نحو φ ≈ 1.6180339887…، وهو الثابت نفسه الموجود في نسب المخمّس المنتظم وفي معادلة بينيه المغلقة لحساب أرقام فيبوناتشي دون تكرار. تُقارب الحدود الأولى هذه القيمة بشكل تقريبي فقط (3/2 = 1.5، 8/5 = 1.6)، لكن بحلول الحد الخامس عشر تقريبًا تصبح النسبة دقيقة حتى أربع خانات عشرية.
ما يجب أن تعرفه
- اصطلاح الترقيم. تبدأ بعض المصادر المتتالية من F(1) = F(2) = 1 بدلًا من F(0) = 0. تتبع هذه الأداة الاصطلاح الرياضي المعياري، F(0) = 0 وF(1) = 1، وهو ما تستخدمه أيضًا معظم الكتب الدراسية ومقررات علوم الحاسوب.
- معدل النمو. كل حد يساوي تقريبًا 1.618 ضعف الحد الذي يسبقه، لذا يتزايد عدد الخانات خطيًا مع n — فـF(1000) يحتوي على أكثر من 200 خانة، وهو تحديدًا النطاق الذي تتعطل عنده الآلات الحاسبة ذات الفاصلة العائمة وتصبح BigInt ضرورية.
- خطأ شائع. نسخ قيمة كبيرة من فيبوناتشي من جدول بيانات أو آلة حاسبة تستخدم أرقام الفاصلة العائمة القياسية (جافاسكريبت العادية أو Excel مثلًا) بعد الحد الثامن والسبعين تقريبًا سيؤدي إلى تقريب الأرقام الأخيرة بصمت — تحقق دائمًا من القيم الكبيرة جدًا باستخدام أداة مصممة للدقة العشوائية.
- استخدامات عملية. بخلاف الرياضيات البحتة، تظهر هذه المتتالية في تحليل الخوارزميات (بحث فيبوناتشي، أمثلة تعليمية للبرمجة الديناميكية)، وفي وصف بعض أنماط النمو الطبيعية، وفي مستويات التصحيح (retracement) المستخدمة في التحليل الفني المالي.
الأسئلة الشائعة
ما أقصى قيمة يمكن أن يبلغها N؟
حتى 1000 — وهذا يتجاوز بكثير النقطة التي تبدأ عندها الأرقام العادية ذات الفاصلة العائمة (بما فيها أرقام جافاسكريبت العادية) في فقدان الدقة، وهو ما يحدث عند F(78) تقريبًا. يحافظ BigInt على دقة كل رقم مهما كبر الحد.
هل تبدأ المتتالية من 0 أم من 1؟
تبدأ هذه الأداة من F(0)=0، F(1)=1، وفقًا للتعريف الرياضي المعياري المستخدم في معظم الكتب الدراسية؛ بينما تبدأ بعض المصادر الأخرى العد من F(1)=F(2)=1.
لماذا تحتاج أرقام فيبوناتشي الكبيرة إلى BigInt بدلًا من نوع رقمي عادي؟
تقرّب أنواع الأرقام القياسية النتائج بصمت بمجرد أن يتجاوز العدد الصحيح نحو 9 كوادريليون (9 × 10^15)، وهو حد تصل إليه فيبوناتشي عند الحد الثامن والسبعين تقريبًا. يمثّل BigInt الأعداد الصحيحة غير المحدودة الحجم بدقة تامة، لذا تخرج F(100) أو F(500) صحيحة حتى آخر رقم بدلًا من تقريب مقرَّب.
ما علاقة النسبة الذهبية؟
قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه (F(n)/F(n-1)) تتقارب نحو φ ≈ 1.618033988…، وهي النسبة الذهبية. يصبح هذا التقريب دقيقًا حتى أربع خانات عشرية بحلول الحد الخامس عشر تقريبًا.
هل يمكنني الانتقال مباشرة إلى حد معين بدلًا من سرد المتتالية كاملة؟
نعم — أدخل رقم الحد الذي تريده، وتحسب الأداة F(n) مباشرة دون الحاجة إلى عرض جميع الحدود التي تسبقه.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة متتالية فيبوناتشي
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!