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피보나치 수열은 어떻게 계산할까

피보나치 수열은 단순한 점화식으로 정의됩니다: F(0) = 0, F(1) = 1이고, 그 이후의 모든 항은 바로 앞 두 항의 합입니다, F(n) = F(n-1) + F(n-2). 이 하나의 규칙만으로 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…가 만들어집니다 — 모든 숫자가 그저 앞의 두 숫자를 더한 값이므로, 처음 열두어 개 항 정도는 손으로도 쉽게 확인할 수 있습니다.

훨씬 덜 명확한 점은 숫자가 얼마나 빠르게 커지는가입니다. F(30)에 이르면 값은 이미 80만을 넘고, F(100)은 21자리 숫자가 됩니다. 대부분의 계산기와 순수 자바스크립트 숫자가 사용하는 표준 64비트 숫자 타입은 정수가 약 9 × 10^15을 넘어서면 눈에 띄지 않게 정밀도를 잃습니다 — 피보나치 수열은 약 78번째 항에서 이 한계에 도달합니다. 그 지점을 지나면 단순한 계산기는 아무 경고 없이 반올림된, 살짝 틀린 값을 보여줍니다. 이 도구는 모든 항을 BigInt 연산으로 계산해 이 문제를 완전히 피합니다. BigInt는 n이 아무리 커져도 임의 크기의 정수를 자릿수 하나하나까지 정확하게 표현하므로, F(100), F(500), 심지어 F(1000)까지도 마지막 자리까지 정확하게 나옵니다.

두 번째로 잘 알려진 성질은 황금비와의 연결입니다: n이 커질수록 연속한 항의 비율 F(n)/F(n-1)은 φ ≈ 1.6180339887…에 수렴합니다. 이는 정오각형의 비율에서도 나타나고, 재귀 없이 피보나치 수를 직접 계산하는 비네의 닫힌 형식 공식에도 등장하는 동일한 상수입니다. 초기 항들은 이 값을 느슨하게 근사합니다(3/2 = 1.5, 8/5 = 1.6), 하지만 약 15번째 항에 이르면 이미 소수점 넷째 자리까지 정확해집니다.

알아두면 좋은 점

• 인덱싱 관례. 일부 자료는 F(0) = 0 대신 F(1) = F(2) = 1로 수열을 시작합니다. 이 도구는 대부분의 교과서와 컴퓨터공학 수업에서도 쓰이는 표준 수학적 관례, 즉 F(0) = 0과 F(1) = 1을 따릅니다.
• 증가 속도. 각 항은 바로 앞 항의 약 1.618배이므로, 자릿수는 n에 비례해 선형으로 늘어납니다 — F(1000)은 200자리가 넘으며, 이는 부동소수점 계산기가 무너지고 BigInt가 반드시 필요해지는 정확한 지점입니다.
• 흔히 빠지는 함정. 표준 부동소수점 숫자를 쓰는 스프레드시트나 계산기(예: 순수 자바스크립트나 엑셀)에서 약 78번째 항을 넘는 큰 피보나치 값을 복사하면 마지막 몇 자리가 조용히 반올림됩니다 — 매우 큰 값은 항상 임의 정밀도를 위해 설계된 도구와 대조해 확인하세요.
• 실용적 활용. 순수 수학을 넘어, 이 수열은 알고리즘 분석(피보나치 탐색, 동적 계획법 교육 예제), 특정 자연적 성장 패턴을 설명하는 데, 그리고 금융 기술적 분석에서 쓰이는 되돌림(retracement) 수준에도 등장합니다.