timeline Calculateur de Suite de Fibonacci star

Comment calcule-t-on la suite de Fibonacci ?

La suite de Fibonacci est définie par une récurrence simple : F(0) = 0, F(1) = 1, et chaque terme suivant est la somme des deux précédents, F(n) = F(n-1) + F(n-2). Cette seule règle engendre 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… chaque nombre n'est que la somme des deux derniers, ce qui rend la suite facile à vérifier à la main pour sa première douzaine de termes environ.

Ce qui est bien moins évident, c'est la vitesse à laquelle les nombres croissent. Dès F(30), la valeur dépasse déjà 800 000 ; F(100) est un nombre à 21 chiffres. Les types numériques standards sur 64 bits (utilisés par la plupart des calculatrices et par les nombres classiques de JavaScript) perdent silencieusement en précision dès qu'un entier dépasse environ 9 × 10^15 — un seuil que Fibonacci atteint vers le 78e terme. Au-delà de ce point, une calculatrice naïve affiche un résultat arrondi, légèrement faux, sans aucun avertissement. Cet outil évite entièrement ce problème en calculant chaque terme avec l'arithmétique BigInt, qui représente les entiers de taille arbitraire de façon exacte, chiffre par chiffre, quelle que soit la grandeur de n — ainsi F(100), F(500), voire F(1000), sortent exacts jusqu'au dernier chiffre.

Une seconde propriété bien connue est le lien avec le nombre d'or : à mesure que n croît, le rapport entre termes consécutifs F(n)/F(n-1) converge vers φ ≈ 1,6180339887…, la même constante que l'on retrouve dans les proportions d'un pentagone régulier et dans la formule close de Binet permettant de calculer les nombres de Fibonacci sans récursivité. Les premiers termes ne l'approchent que grossièrement (3/2 = 1,5, 8/5 = 1,6), mais dès le 15e terme environ, le rapport est déjà exact à quatre décimales près.

Ce qu'il faut savoir

• Convention d'indexation. Certaines sources font commencer la suite à F(1) = F(2) = 1 plutôt qu'à F(0) = 0. Cet outil suit la convention mathématique standard, F(0) = 0 et F(1) = 1, également utilisée par la plupart des manuels et des cours d'informatique.
• Taux de croissance. Chaque terme vaut environ 1,618 fois le précédent, si bien que le nombre de chiffres croît linéairement avec n — F(1000) compte plus de 200 chiffres, exactement la plage où les calculatrices en virgule flottante flanchent et où BigInt devient nécessaire.
• Piège courant. Copier une grande valeur de Fibonacci depuis un tableur ou une calculatrice utilisant des nombres à virgule flottante standards (JavaScript classique ou Excel, par exemple) au-delà d'environ le 78e terme arrondira silencieusement les derniers chiffres — vérifiez toujours les très grandes valeurs avec un outil conçu pour la précision arbitraire.
• Usages pratiques. Au-delà des mathématiques pures, la suite apparaît dans l'analyse d'algorithmes (recherche de Fibonacci, exemples pédagogiques de programmation dynamique), dans la description de certains motifs de croissance naturelle, et dans les niveaux de retracement utilisés en analyse technique financière.