view_in_ar 부피 계산기 star

부피는 어떻게 계산되나요

다섯 가지 도형, 다섯 가지 공식: 정육면체 = 모서리³, 직육면체 = a×b×c, 원기둥 = π × r² × 높이, 구 = (4/3) × π × r³, 원뿔 = (1/3) × π × r² × 높이. 밑면 반지름과 높이가 같은 원기둥과 원뿔을 비교하면, 원뿔은 그 원기둥 부피의 정확히 3분의 1을 차지합니다 — 대략 3분의 1이 아니라 정확히 그렇습니다. 이는 적분학으로 증명 가능한 결과입니다(꼭짓점을 향해 선형적으로 0까지 줄어드는 원형 단면의 넓이를 적분한 것입니다). 원뿔 모양 용기에 물을 담아 같은 밑면과 높이를 가진 원기둥에 부으면, 원기둥을 가득 채우려면 세 번 부어야 합니다.

구체적인 예: 반지름 3cm, 높이 10cm인 원뿔의 부피는 (1/3) × π × 3² × 10 = (1/3) × π × 90 ≈ 94.2cm³입니다. 같은 반지름 3cm, 높이 10cm인 원기둥의 부피는 π × 3² × 10 ≈ 282.7cm³입니다 — 원뿔 부피의 거의 정확히 세 배로, 반올림 오차 범위 내에서 1/3 관계를 확인해 줍니다.

알아두면 좋은 점

• 원뿔-원기둥 1/3 법칙: 두 도형이 같은 밑면과 같은 높이를 공유하는 한, 어떤 반지름과 높이에도 성립합니다 — 이는 근사값이 아니라 고정된 기하학적 비율입니다.
• 단위는 자동으로 세제곱됩니다: cm를 입력하면 cm³(1,000cm³ = 1리터)가, 미터를 입력하면 m³(1m³ = 1,000리터)가 나옵니다.
• 부분적으로 채워진 용기: 상자나 세워진 원기둥의 경우, 용기의 전체 높이 대신 액체 자체의 높이를 사용하면 채워진 부피를 바로 구할 수 있습니다.
• 구 대 원기둥: 원기둥 안에 정확히 내접하는 구(같은 반지름, 높이 = 지름)는 그 원기둥 부피의 3분의 2를 채웁니다 — 원뿔 법칙의 잘 알려지지 않은 사촌 격으로, 같은 적분 기법으로 증명할 수 있습니다.
• 치수를 두 배로 늘려도 부피는 두 배가 되지 않습니다: 반지름과 모서리 길이는 제곱 또는 세제곱으로 계산되므로, 정육면체의 모서리를 두 배로 늘리면 부피는 2배가 아니라 8배가 됩니다 — 용기 크기를 어림짐작으로 비교할 때 자주 놓치는 부분입니다.