حاسبة الحجم
احسب حجم المكعب والصندوق المستطيل والأسطوانة والكرة والمخروط.
1,119 مشاهدة
كيفية حساب الحجم
خمسة أشكال، خمس صيغ: المكعب = الضلع³، الصندوق المستطيل = a×b×c، الأسطوانة = π × نق² × الارتفاع، الكرة = (4/3) × π × نق³، والمخروط = (1/3) × π × نق² × الارتفاع. لاحظ أن مخروطًا له نفس نصف قطر القاعدة وارتفاع أسطوانة يحمل بالضبط ثلث حجم تلك الأسطوانة — ليس تقريبًا بل بالضبط، وهي نتيجة يمكن إثباتها عبر حساب التفاضل والتكامل (بتكامل مساحة المقاطع الدائرية التي تتقلص خطيًا إلى الصفر عند القمة). لو صببت الماء من وعاء مخروطي في أسطوانة تشاركه القاعدة والارتفاع، ستحتاج إلى تكرار ذلك ثلاث مرات لملء الأسطوانة.
مثال ملموس: مخروط نصف قطره 3 سم وارتفاعه 10 سم حجمه (1/3) × π × 3² × 10 = (1/3) × π × 90 ≈ 94.2 سم³. أسطوانة بنفس نصف القطر 3 سم والارتفاع 10 سم حجمها π × 3² × 10 ≈ 282.7 سم³ — أي ثلاثة أضعاف حجم المخروط تقريبًا بالضبط، ما يؤكد علاقة الثلث حتى حدود التقريب.
ما يستحق المعرفة
- قاعدة الثلث بين المخروط والأسطوانة: تنطبق على أي نصف قطر وارتفاع، طالما يشترك الشكلان في نفس القاعدة ونفس الارتفاع — إنها نسبة هندسية ثابتة، وليست تقريبًا.
- الوحدات تُكعَّب تلقائيًا: إدخال سم يعطي سم³ (1,000 سم³ = 1 لتر)؛ إدخال الأمتار يعطي م³ (1 م³ = 1,000 لتر).
- الأوعية المملوءة جزئيًا: للصندوق أو الأسطوانة القائمة، استخدم ارتفاع السائل نفسه بدلاً من ارتفاع الوعاء الكامل للحصول مباشرة على الحجم المملوء.
- الكرة مقابل الأسطوانة: الكرة المحصورة تمامًا داخل أسطوانة (نفس نصف القطر، والارتفاع = القطر) تملأ ثلثي حجم تلك الأسطوانة — وهي قاعدة أقل شهرة شقيقة لقاعدة المخروط، ويمكن إثباتها أيضًا بنفس أسلوب التكامل.
- مضاعفة بُعد واحد لا تضاعف الحجم: نظرًا لأن نصف القطر وطول الضلع يُرفعان للأس الثاني أو الثالث، فإن مضاعفة ضلع مكعب تضرب حجمه في 8 وليس 2 — تفصيل يُربك التقديرات الذهنية السريعة عند مقارنة أحجام الأوعية.
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون حجم المخروط دائمًا بالضبط ثلث حجم الأسطوانة، لا تقريبًا فقط؟
هذه علاقة رياضية ثابتة يمكن إثباتها بحساب التفاضل والتكامل — تتقلص مساحة المقطع العرضي للمخروط خطيًا من القاعدة إلى الصفر عند القمة، وتكامل هذه المساحة المتقلصة عبر الارتفاع يعطي دائمًا بالضبط ثلث حجم الأسطوانة، لأي نصف قطر أو ارتفاع، طالما يشترك الشكلان في نفس القاعدة والارتفاع. إنها ليست تقريبًا أو رقمًا مقرّبًا؛ ثلاثة مخاريط متطابقة ستملأ دائمًا أسطوانة واحدة بالضبط.
كيف أحوّل النتيجة إلى لترات؟
إذا أدخلت سنتيمترات، اقسم نتيجة سم³ على 1,000 (تعرض الأداة هذا تلقائيًا أيضًا). إذا أدخلت أمتارًا، اضرب نتيجة م³ في 1,000 — لأن 1 م³ يساوي 1,000 لتر. هذا التحويل دقيق تمامًا ولا يعتمد على الشكل الذي حسبته.
كيف أحسب حجم خزان ممتلئ جزئيًا؟
للصندوق أو الأسطوانة القائمة، استبدل ارتفاع الوعاء الكامل بارتفاع السائل بداخله — تعمل الصيغة بنفس الطريقة، فقط بارتفاع أقصر، وتعطيك مباشرة الحجم المملوء بدلاً من السعة الإجمالية للوعاء. لا تنجح هذه الحيلة مع المخروط أو الكرة، لأن مساحة مقطعهما تتغير مع الارتفاع بدلاً من أن تبقى ثابتة.
هل تفترض صيغة الكرة كرة صلبة ومثالية؟
نعم — (4/3) × π × نق³ تعطي الحجم الذي يحصره سطح كرة مثالية. أما بالنسبة لكرة مجوفة (مثل قشرة بسماكة معينة)، فيجب طرح حجم الكرة الداخلية من الكرة الخارجية، باستخدام الصيغة نفسها مرتين بنصفي قطر مختلفين.
لماذا تطلب الحاسبة نصف القطر بدلاً من القطر للأشكال الدائرية؟
جميع صيغ الأشكال الدائرية (الأسطوانة، الكرة، المخروط) مُعرَّفة بدلالة نصف القطر لا القطر — واستخدام القطر مباشرة سيضخّم النتيجة، لأن نصف القطر يُرفع للأس الثاني أو الثالث في كل من هذه الصيغ. تذكّر أن تقسم القطر المقيس على 2 قبل إدخاله، وإلا ستخرج الإجابة أكبر بكثير مما ينبغي.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة الحجم
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!