functions 이차방정식 계산기 star

ax² + bx + c = 0 풀이

ax² + bx + c = 0(단, a ≠ 0) 형태의 모든 이차방정식은 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a라는 동일한 공식으로 풀 수 있습니다. 제곱근 안의 식 b² - 4ac는 판별식(흔히 D 또는 Δ로 표기)이라고 하며, 그 부호만으로도 계산을 마치기 전에 어떤 종류의 근이 나올지 미리 알 수 있습니다. D가 양수이면 ±는 서로 다른 두 실근을 만들어냅니다. D가 정확히 0이면 중근 x = -b/2a 하나만 존재합니다. D가 음수이면 두 근은 실근 대신 서로 켤레 관계인 복소수 쌍이 되며, p = -b/2a, q = √|D| / 2a일 때 p ± qi로 표기됩니다.

같은 계수들은 포물선 y = ax² + bx + c도 나타내며, x = -b/2a는 우연이 아닙니다 — 이는 곡선이 좌우 대칭을 이루는 수직선인 포물선의 대칭축입니다. 이 x값을 방정식에 다시 대입하면 포물선에서 가장 높거나 가장 낮은 유일한 지점인 꼭짓점을 얻습니다(a > 0이면 최솟값, a < 0이면 최댓값). 이것이 바로 판별식의 부호가 그토록 명확한 기하학적 의미를 갖는 이유입니다 — 포물선이 꼭짓점을 기준으로 x축을 몇 번 지나는지, 즉 두 번, 한 번, 혹은 전혀 지나지 않는지를 정확히 설명해 줍니다.

바빌로니아 기하학에서 허수까지

오늘날 이차방정식이라고 부르는 문제를 푸는 방법은 약 4,000년 전, 기원전 2000년경 점토판에 기록을 남긴 바빌로니아 서기관들까지 거슬러 올라갑니다. 하지만 그들의 접근 방식은 대수적이 아니라 전적으로 기하학적이었습니다 — 기호로 된 공식도, 미지수를 나타내는 문자도, 받아들이거나 거부할 음수의 개념조차 없었습니다. 문제는 길이와 넓이를 다루는 단계별 절차로 풀렸으며, 오늘날 "완전제곱식 만들기"와 동등하다고 인정되는 이 방법들은 순전히 도형을 자르고 재배열하는 지침의 형태로 표현되었습니다. 이 형태의 어떤 방정식에도 신뢰성 있게 양의 실근을 돌려주는 일반적이고 기호적인 공식은 그로부터 2,600년도 더 지난 뒤에야, 0과 음수를 정당한 수량으로 다루는 데도 앞장선 7세기 인도 수학자 브라마굽타에 의해 명확히 기록되었습니다.

그럼에도 한 가지 경우는 여전히 다루어지지 않았습니다 — 바로 판별식이 음수인 경우입니다. 수 세기 동안 제곱근 안에서 음수를 만난 수학자들은 그저 해가 없다고 결론지었습니다. 이런 상황은 16세기에 이탈리아 수학자 제롤라모 카르다노와 라파엘 봄벨리가 삼차방정식을 풀면서 음수의 제곱근을 체계적으로 다루기 시작하면서 바뀌었습니다 — 이전 세대들이 "불가능"하거나 "상상 속의 것"이라며 완전히 배척했던 양들이었습니다. 봄벨리는 이 수들을 더하고 곱하는 일관된 규칙을 정립했으며, 이는 오늘날 복소수라고 부르는 개념의 사실상의 토대가 되었습니다. 다만 회의적인 이름인 "허수"는 한때 그것들이 얼마나 논란이 되었는지를 상기시키는 흔적으로 남았습니다. 오늘날 판별식이 음수라는 것은 그저 포물선이 x축에 전혀 닿지 않는다는 뜻일 뿐, 막다른 길이 아니라 완전한 답입니다.