functions İkinci Derece Denklem Çözücü star

ax² + bx + c = 0 Denklemini Çözmek

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) formundaki her ikinci derece denklem aynı formülle çözülür: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Karekök içindeki ifade, b² - 4ac, diskriminant olarak adlandırılır (genellikle D veya Δ ile gösterilir) ve işareti tek başına, hesabı bitirmeden önce ne tür köklerle karşılaşacağınızı söyler. D pozitifse, karekök gerçek bir sayıdır ve ± işareti iki farklı gerçek kök verir. D tam olarak sıfırsa, ± işareti anlamsızlaşır ve tek bir (çift) gerçek kök vardır: x = -b/2a. D negatifse, negatif bir sayının karekökü gerekir ki bunun gerçek sayılarda karşılığı yoktur — bu durumda iki kök birbirinin eşleniği olan karmaşık sayılardır ve p ± qi biçiminde yazılır; burada p = -b/2a, q = √|D| / 2a'dır.

Aynı katsayılar bir parabolü de tanımlar: y = ax² + bx + c. İkinci derece formülünün içinde beliren x = -b/2a ifadesi tesadüf değildir — bu, parabolün ayna simetrisi gösterdiği dikey çizgi olan simetri eksenidir. Bu x değerini denkleme geri koyduğunuzda parabolün tek en yüksek veya en düşük noktası olan tepe noktasını elde edersiniz (a > 0 ise minimum, a < 0 ise maksimum). Diskriminantın işaretinin bu kadar net bir geometrik anlamı olmasının nedeni budur: parabolün x-eksenini tepe noktasına göre kaç kez kestiğini tam olarak anlatır — iki kez, bir kez ya da hiç.

Babil Geometrisinden Sanal Sayılara

Bugün ikinci derece denklem olarak adlandırdığımız problemleri çözme yöntemleri yaklaşık 4.000 yıl öncesine, MÖ 2000 civarında kil tabletler üzerinde çalışan Babilli katiplere kadar uzanır. Ancak onların yaklaşımı tamamen geometrikti, cebirsel değildi — sembolik bir formül, bilinmeyeni temsil eden harfler ya da kabul edilecek veya reddedilecek negatif sayı kavramı yoktu. Bunun yerine problemler, uzunlukları ve alanları nasıl işleyeceğini adım adım anlatan tariflerle çözülüyordu; bugünün matematikçilerinin "kareyi tamamlama" ile eşdeğer gördüğü bu yöntemler, geometrik şekilleri kesip yeniden düzenlemeye yönelik saf talimatlar biçiminde ifade ediliyordu. Herhangi bir denkleme uygulanabilecek ve güvenilir biçimde pozitif gerçek çözümler veren genel, sembolik bir ikinci derece formülü ancak 2.600 yıldan fazla bir süre sonra, 7. yüzyılda yaşayan Hintli matematikçi Brahmagupta tarafından net biçimde ortaya konuldu; Brahmagupta ayrıca sıfırı ve negatif sayıları aritmetikte meşru nicelikler olarak ele alma konusunda öncü çalışmalar yaptı.

Yine de bir durum hâlâ çözümsüzdü: diskriminant negatif olduğunda ne yapılacağı. Bundan sonraki yüzyıllar boyunca, karekök işareti altında negatif bir sayıyla karşılaşan matematikçiler basitçe problemin çözümü olmadığı sonucuna varıp devam ettiler. Bu durum 16. yüzyılda değişti; İtalyan matematikçiler Gerolamo Cardano ve Rafael Bombelli, üçüncü derece denklemleri çözerken negatif sayıların karekökleriyle sistematik olarak çalışmaya başladılar — önceki kuşakların açıkça "imkânsız" ya da "hayali" diye reddettiği sayılarla. Özellikle Bombelli, bu sayıları toplama ve çarpma için tutarlı kurallar geliştirerek bugün karmaşık sayılar dediğimiz kavramın temelini fiilen attı; buna karşın "sanal (imaginary)" adı — onlarca yıl sonra Descartes tarafından şüpheci bir tavırla önerilmişti — bu sayıların bir zamanlar ne kadar tartışmalı olduğunun hatırlatıcısı olarak kalıcı hale geldi. Bugün ise negatif bir diskriminant, basitçe "parabol x-eksenine hiç değmiyor" biçiminde okunur — bir çıkmaz sokak değil, tam ve iyi anlaşılmış bir cevaptır.