functions Kwadratische Vergelijking Oplosser star

ax² + bx + c = 0 oplossen

Elke kwadratische vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 (met a ≠ 0) kan worden opgelost met dezelfde formule: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. De uitdrukking onder het wortelteken, b² - 4ac, heet de discriminant (vaak geschreven als D of Δ), en het teken ervan alleen al vertelt u welk type wortels u kunt verwachten voordat u de berekening afmaakt. Als D positief is, geeft de ± twee verschillende reële wortels. Als D precies nul is, is er één herhaalde reële wortel, x = -b/2a. Als D negatief is, zijn de twee wortels in plaats daarvan een complex geconjugeerd paar, geschreven als p ± qi waarbij p = -b/2a en q = √|D| / 2a.

Dezelfde coëfficiënten beschrijven ook een parabool, y = ax² + bx + c, en x = -b/2a is geen toeval — het is de symmetrieas van de parabool, de verticale lijn waarrond de curve spiegelt. Als u die x terug in de vergelijking invult, krijgt u de top, het enige hoogste of laagste punt van de parabool (een minimum als a > 0, een maximum als a < 0). Dit is waarom het teken van de discriminant zo'n heldere meetkundige betekenis heeft: het beschrijft precies hoe vaak de parabool de x-as kruist ten opzichte van zijn top — twee keer, één keer, of helemaal niet.

Van Babylonische meetkunde naar imaginaire getallen

Methoden om op te lossen wat we nu kwadratische vergelijkingen zouden noemen, gaan ongeveer 4.000 jaar terug, tot Babylonische schrijvers die rond 2000 v.Chr. op kleitabletten werkten. Maar hun aanpak was volledig meetkundig, niet algebraïsch — er was geen symbolische formule, geen letters die voor onbekenden stonden, en geen begrip van negatieve getallen om te accepteren of te verwerpen. Problemen werden opgelost met stap-voor-stap recepten voor het manipuleren van lengtes en oppervlaktes, methoden die we nu herkennen als equivalent aan "de vierkantsafsplitsing," puur uitgedrukt als instructies voor het knippen en herschikken van vormen. Een algemene, symbolische formule — een die betrouwbaar positieve reële oplossingen opleverde voor elke vergelijking van deze vorm — werd pas ruim 2.600 jaar later duidelijk opgeschreven, door de 7e-eeuwse Indiase wiskundige Brahmagupta, die ook baanbrekend werk verrichtte door nul en negatieve getallen als legitieme grootheden te behandelen.

Zelfs toen bleef één geval buiten beschouwing: een negatieve discriminant. Eeuwenlang concludeerden wiskundigen die op een negatief getal onder het wortelteken stuitten simpelweg dat er geen oplossing was. Dat veranderde in de 16e eeuw, toen de Italiaanse wiskundigen Gerolamo Cardano en Rafael Bombelli systematisch begonnen te werken met vierkantswortels van negatieve getallen tijdens het oplossen van derdegraadsvergelijkingen — grootheden die eerdere generaties botweg als "onmogelijk" of "imaginair" hadden afgedaan. Bombelli werkte consistente regels uit voor het optellen en vermenigvuldigen ervan, en legde daarmee feitelijk de basis voor wat we nu complexe getallen noemen, ook al bleef de sceptische naam "imaginair" hangen als herinnering aan hoe omstreden ze ooit waren. Vandaag betekent een negatieve discriminant simpelweg dat de parabool de x-as nooit raakt — een volledig antwoord, geen doodlopende weg.