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ax² + bx + c = 0を解く

ax² + bx + c = 0(ただしa ≠ 0)という形のあらゆる二次方程式は、同じ公式で解くことができます: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。平方根の中の式であるb² - 4acは判別式(しばしばDまたはΔと表記されます)と呼ばれ、その符号だけで、計算を終える前にどのような解になるかが分かります。Dが正であれば、±は2つの異なる実数解を与えます。Dがちょうど0であれば、重解と呼ばれる1つの実数解x = -b/2aになります。Dが負であれば、2つの解はp ± qi(ただしp = -b/2a、q = √|D| / 2a)という形の互いに共役な複素数のペアになります。

同じ係数は放物線y = ax² + bx + cも表しており、x = -b/2aは偶然ではありません — これは放物線がその周りで線対称になる垂直な直線である対称軸です。このxを方程式に代入し直すと、放物線のただ1つの最高点または最低点である頂点が得られます(aが正なら最小値、aが負なら最大値)。判別式の符号がこれほど明快な幾何学的意味を持つのはこのためです。それは、放物線が頂点との関係でx軸と何回交わるか — 2回、1回、あるいは1回も交わらないか — を正確に表しているのです。

バビロニアの幾何学から虚数へ

現在私たちが二次方程式と呼ぶ問題を解く方法は、およそ4,000年前、紀元前2000年頃に粘土板の上で作業していたバビロニアの書記官たちにまでさかのぼります。しかし彼らのアプローチは代数的ではなく、完全に幾何学的なものでした — 記号的な公式も、未知数を表す文字も、受け入れるか棄却するかを判断すべき負の数という概念も存在しませんでした。問題は、長さと面積を操作するための段階的な手順によって解かれており、現在では「平方完成」と同等だと認識されているこれらの方法は、図形を切り取って並べ替えるための純粋な指示として表現されていました。この形のあらゆる方程式に対して確実に正の実数解を返す、一般的で記号的な公式が明確に書き記されたのは、それから2,600年以上も後、7世紀のインドの数学者ブラーマグプタによってでした。彼はまた、ゼロと負の数を正当な量として扱うことの先駆者でもありました。

それでもなお、1つのケースだけは扱われないままでした。判別式が負の場合です。何世紀もの間、平方根の中に負の数が現れた数学者たちは、単純に「解なし」と結論づけていました。これが変わったのは16世紀、イタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノとラファエル・ボンベリが、三次方程式を解く過程で負の数の平方根を体系的に扱い始めたときでした — それ以前の世代が「不可能」あるいは「想像上のもの」として端から退けていた量です。ボンベリはこれらを足し算・掛け算するための一貫した規則を作り上げ、事実上、現在私たちが複素数と呼ぶものの基礎を築きました。それでも懐疑的な「虚数(imaginary)」という名前は、かつてどれほど議論を呼んだかを思い出させるものとして残り続けました。今日では、判別式が負であることは、単に放物線がx軸に一度も触れないことを意味するだけです — 行き止まりではなく、完全な答えなのです。