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Wie funktioniert die Basisumrechnung?

Ein Zahlensystem zur Basis b verwendet nur die Ziffern 0 bis b−1, wobei jede Position eine Potenz von b wert ist — dieselbe Idee wie im Dezimalsystem, nur mit einer anderen Anzahl von Symbolen. Die Umwandlung von Dezimal in eine andere Basis nutzt die Divisions-Rest-Methode: Die Zahl wird wiederholt durch die Zielbasis geteilt und jeder Rest notiert, dann werden die Reste in umgekehrter Reihenfolge gelesen. Umwandlung von Dezimal 100 in Basis 7: 100÷7 = 14 Rest 2, 14÷7 = 2 Rest 0, 2÷7 = 0 Rest 2 — die Reste von unten nach oben gelesen ergeben 202 in Basis 7.

Die Umwandlung von einer beliebigen Basis in Dezimal nutzt die umgekehrte Idee, die Methode der Summe der Stellenwerte: Jede Ziffer wird mit der Basis potenziert mit ihrer Positionspotenz (von 0 rechts beginnend gezählt) multipliziert, und die Ergebnisse werden addiert. So wird Basis-7 202 zurückgewandelt mit 2×7² + 0×7¹ + 2×7⁰ = 98 + 0 + 2 = 100. Dieses Tool führt beide Richtungen gleichzeitig zwischen beliebigen zwei Basen von 2 bis 36 aus und verwendet Big-Integer-Arithmetik, damit die Ergebnisse auch bei sehr langen Zahlen exakt bleiben — keine Rundung bei 15 Stellen wie bei einem Taschenrechner.

Dieselben zwei Methoden verallgemeinern sich auch auf jedes Paar nicht-dezimaler Basen: Die direkte Umwandlung etwa von Basis 5 in Basis 12 erfolgt üblicherweise, indem man zunächst über Dezimal als Zwischenschritt geht (Basis 5 → Dezimal über die Methode der Stellenwertsumme, dann Dezimal → Basis 12 über die Divisions-Rest-Methode) — genau das automatisiert dieses Tool im Hintergrund für jede der 35 möglichen Basiskombinationen von 2 bis 36.

Wichtig zu wissen

• Buchstaben erweitern den Ziffernvorrat über 10 hinaus: Sobald eine Basis mehr als 10 Symbole benötigt, greift sie auf Buchstaben zurück, wo die Ziffern ausgehen — A=10, B=11, bis Z=35 für Basis 36, die größte von diesem Tool unterstützte Basis. Die Eingabe ist nicht groß-/kleinschreibungsabhängig.
• Hex ist beliebt, weil es sich sauber auf Binär abbildet: Jede Hex-Ziffer entspricht genau 4 Bit, sodass die Umwandlung Binär↔Hex ein einfaches Nachschlagen pro 4-Ziffern-Gruppe ist, anders als Binär↔Dezimal, das vollständige Stellenwert-Arithmetik erfordert.
• Oktal (Basis 8) gruppiert Binär in 3-Bit-Blöcken: Es war in der frühen Computertechnik verbreitet (Unix-Dateiberechtigungen nutzen es noch, z. B. 755), weil 3 Binärziffern genau einer Oktalziffer entsprechen.
• Führende Nullen und Vorzeichen: Dieser Umrechner arbeitet mit vorzeichenlosen Beträgen — eine negative Zahl sollte mit einem expliziten Minuszeichen eingegeben werden, da Basissysteme über 10 kein eigenes reserviertes Zeichen dafür haben.
• Basen unter 2 oder über 36 gibt es hier absichtlich nicht: Basis 1 (unär) hat keine sinnvollen Stellenziffern, und jenseits von 36 gibt es im lateinischen Alphabet plus Ziffern keine weiteren nicht groß-/kleinschreibungsabhängigen Einzelzeichen-Symbole mehr, um höhere Ziffernwerte eindeutig darzustellen.