functions 組み合わせ・順列計算 star

組み合わせと順列の違い、そしてその計算方法

どちらの公式も、n個の中からr個を選ぶ方法の数を数えますが、選ぶ順序が重要かどうかによって答える問いが異なります。

順列では順序が重要です — 選んだ2つの項目を入れ替えると、別の異なる結果になります。公式はP(n,r) = n! ÷ (n−r)!です。組み合わせでは順序は重要ではありません — どのように並べ替えても同じグループは1回としか数えません。公式はC(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)で、これは選ばれたr個の項目を並べ替える通り数を打ち消すために、順列の公式をr!で割ったものにすぎません。

具体例: 5人の中から1位・2位・3位の表彰台に立つ3人を選ぶのは順列です。なぜなら、アリス・ボブ・キャロルが1位・2位・3位になる結果と、ボブ・アリス・キャロルになる結果は別の結果だからです。P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60通りの並び方があります。同じ3人を順序のない3人委員会として選ぶのは組み合わせです — アリス、ボブ、キャロルからなる委員会は、誰が先に名前を挙げられたかに関係なく同じ委員会です。C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10通りの委員会があります。どちらも同じ5人から3人を選んでいますが、「並び順は重要か?」という問いの違いが、答えを60から10へと変えています。

このツールは、両方の公式の基礎となる単純な階乗(n!)も計算します。n!は1からnまでのすべての整数の積であり、非常に速く増加します(10!ですでに3,628,800です)。通常の電卓では精度が足りなくなるほど大きなnに対しても、このツールは浮動小数点演算ではなく正確な多倍長整数演算を使うため、n = 5000までの結果が、丸められた指数表記ではなく最後の桁まで正確に得られます。

知っておくべきこと

• 最も手早い判定方法:「同じ項目を並べ替えたら、別の結果になるか?」と自問してください。答えが「はい」なら順列、「いいえ」なら組み合わせを使います。宝くじの数字、委員会、手札、材料リストは組み合わせです。パスワード、順位、表彰台の結果は順列です。
• 0! = 1は計算ではなく定義によるものです — 0個の項目を並べる方法はちょうど1通り(何もしないこと)存在し、この慣習によってC(n,n) = n!/(n!×0!) = 1のような公式が正しく成り立ちます。グループ全体を選ぶ方法はただ1通りしかないからです。
• C(n,r)は常にC(n, n−r)に等しくなります — 10人からどの3人が委員会に参加するかを選ぶことは、どの7人が外れるかを選ぶことと同じ数であり、どちらも同じ分け方を表しているからです。
• よくある間違いは、本来順序が関係ない状況(抽選など)に順列の公式を使ってしまうことです。これは結果の数をr!倍に膨らませてしまいます — 公式を選ぶ前に、順序を入れ替えると結果が変わるかどうかを必ず確認してください。
• 規模:このツールはn = 5000まで正確な多倍長整数の結果を扱い、通常の浮動小数点電卓が丸めやオーバーフローを起こし始める範囲をはるかに超えています。