functions Combinatie- en permutatiecalculator star

Combinatie versus permutatie, en hoe ze worden berekend

Beide formules tellen het aantal manieren om r items uit een groep van n te kiezen, maar ze beantwoorden een andere vraag, afhankelijk van of de volgorde van selectie ertoe doet.

Bij een permutatie telt de volgorde — het verwisselen van twee gekozen items levert een ander, afzonderlijk resultaat op. De formule is P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. Bij een combinatie telt de volgorde niet — dezelfde groep telt maar één keer, ongeacht hoe deze was gerangschikt. De formule is C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!), wat eenvoudigweg de permutatieformule is gedeeld door r! om de manieren om dezelfde r items opnieuw te ordenen weg te strepen.

Uitgewerkt voorbeeld: uit 5 personen 3 kiezen om een podium te vullen — 1e, 2e, 3e plaats — is een permutatie, want Alice-Bob-Carol die 1e-2e-3e eindigen is een ander resultaat dan Bob-Alice-Carol. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 mogelijke volgordes. Dezelfde 3 personen kiezen om een ongeordend comité van 3 personen te vormen is een combinatie — Alice, Bob en Carol als comité is hetzelfde comité, ongeacht wie als eerste werd genoemd. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 mogelijke comités. Beide gebruiken dezelfde 5 personen en kiezen er 3, maar de andere vraag — doet de rangschikking ertoe? — verandert het antwoord van 60 naar 10.

De tool berekent ook gewone faculteiten (n!), de bouwsteen achter beide formules: n! is het product van elk geheel getal van 1 tot n, en het groeit extreem snel (10! is al 3.628.800). Voor n groot genoeg dat een gewone rekenmachine zonder precisie komt te zitten, gebruikt deze tool exacte grote-gehele-getallenrekenkunde in plaats van drijvendekommawiskunde, zodat resultaten tot n = 5000 tot op het laatste cijfer nauwkeurig uitkomen in plaats van in afgeronde wetenschappelijke notatie.

Wat u moet weten

• De snelste test: vraag "als ik dezelfde items opnieuw rangschik, is het dan een ander resultaat?" Zo ja, gebruik permutatie; zo niet, gebruik combinatie. Lottonummers, comités, kaartenhanden en ingrediëntenlijsten zijn combinaties. Wachtwoorden, wedstrijdrangschikkingen en podiumplaatsen zijn permutaties.
• 0! = 1 per definitie, niet door berekening — er is precies één manier om nul items te rangschikken (niets doen), en deze conventie houdt formules zoals C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 correct: er is maar één manier om een hele groep te kiezen.
• C(n,r) is altijd gelijk aan C(n, n−r) — kiezen welke 3 van de 10 personen tot een comité toetreden, telt evenveel als kiezen welke 7 buiten blijven, aangezien beide dezelfde opsplitsing beschrijven.
• Een veelgemaakte fout is het gebruiken van de permutatieformule voor een werkelijk ongeordende situatie (zoals een tombolatrekking), wat het aantal opblaast met een factor r! — controleer altijd of het verwisselen van de volgorde het resultaat verandert voordat u een formule kiest.
• Schaal: deze tool verwerkt n tot 5000 met exacte resultaten in grote gehele getallen, ver voorbij het punt waar gewone drijvendekommarekenmachines beginnen af te ronden of over te lopen.