حاسبة التوافيق والتباديل
احسب توافيق C(n,r)، تباديل P(n,r)، ومضروب n! بنتائج دقيقة تمامًا.
1,290 مشاهدة
الفرق بين التوافيق والتباديل، وكيفية حسابهما
تحسب كلتا الصيغتين عدد الطرق لاختيار r عنصرًا من مجموعة قوامها n عنصرًا، لكنهما تجيبان عن سؤال مختلف بحسب ما إذا كان ترتيب الاختيار مهمًا أم لا.
في التباديل، يكون الترتيب مهمًا — فتبديل موضعي عنصرين مختارين ينتج عنه نتيجة مختلفة ومتمايزة. الصيغة هي P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. أما في التوافيق، فلا يهم الترتيب — إذ تُحسب المجموعة نفسها مرة واحدة فقط بغض النظر عن كيفية ترتيبها. الصيغة هي C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)، وهي ببساطة صيغة التباديل مقسومة على r! لإلغاء طرق إعادة ترتيب هذه العناصر r نفسها.
مثال محلول: من بين 5 أشخاص، اختيار 3 لشغل منصات التتويج — المركز الأول والثاني والثالث — هو تباديل، لأن حصول أليس-بوب-كارول على المراكز الأول-الثاني-الثالث نتيجة مختلفة عن بوب-أليس-كارول. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 ترتيبًا ممكنًا. أما اختيار الأشخاص الثلاثة أنفسهم لتشكيل لجنة من 3 أعضاء دون ترتيب فهو توافيق — فأليس وبوب وكارول كلجنة هم اللجنة نفسها بصرف النظر عمن ذُكر أولًا. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 لجان ممكنة. كلا الحالتين تستخدمان الأشخاص الخمسة أنفسهم وتختاران 3 منهم، لكن السؤال المختلف — هل يهم الترتيب؟ — يغيّر الإجابة من 60 إلى 10.
تحسب الأداة أيضًا المضروب البسيط (n!)، وهو اللبنة الأساسية وراء كلتا الصيغتين: n! هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة من 1 إلى n، وينمو بسرعة هائلة (10! يبلغ بالفعل 3,628,800). وبالنسبة لقيم n الكبيرة بما يكفي لتفقد الآلة الحاسبة العادية دقتها، تستخدم هذه الأداة حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة الدقيق بدلًا من رياضيات الفاصلة العائمة، لذا تخرج النتائج حتى n = 5000 دقيقة حتى آخر رقم بدلًا من ترميز علمي مقرَّب.
ما يجب أن تعرفه
- الاختبار الأسرع: اسأل "إذا أعدت ترتيب العناصر نفسها، هل تكون النتيجة مختلفة؟" إذا كانت الإجابة نعم، استخدم التباديل؛ وإذا كانت لا، استخدم التوافيق. أرقام اليانصيب واللجان وأوراق اللعب وقوائم المكونات هي توافيق. كلمات المرور وترتيب السباقات ومراكز التتويج هي تباديل.
- 0! = 1 بحسب التعريف، لا بالحساب — إذ توجد طريقة واحدة فقط لترتيب صفر عناصر (عدم فعل شيء)، وهذا الاصطلاح يبقي صيغًا مثل C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 صحيحة: توجد طريقة واحدة فقط لاختيار مجموعة كاملة.
- C(n,r) يساوي دائمًا C(n, n−r) — فاختيار أي 3 من أصل 10 أشخاص للانضمام إلى لجنة هو نفس عدد طرق اختيار أي 7 يبقون خارجها، لأن كليهما يصف التقسيم نفسه.
- خطأ شائع هو استخدام صيغة التباديل في موقف غير مرتَّب فعليًا (كسحب اليانصيب)، مما يضخّم العدد بمقدار r! — تأكد دائمًا مما إذا كان تبديل الترتيب يغيّر النتيجة قبل اختيار الصيغة المناسبة.
- النطاق: تتعامل هذه الأداة مع n حتى 5000 بنتائج دقيقة من الأعداد الصحيحة الكبيرة، أبعد بكثير من النقطة التي تبدأ عندها الآلات الحاسبة العادية ذات الفاصلة العائمة بالتقريب أو الفيضان.
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم التوافيق ومتى أستخدم التباديل؟
اسأل نفسك هل يهم الترتيب. أرقام اليانصيب واللجان وأوراق اللعب هي توافيق؛ أما كلمات المرور والترتيبات التصنيفية ومراكز التتويج فهي تباديل.
ما هو 0! ولماذا؟
بحسب التعريف 0! = 1. هذا الاصطلاح يحافظ على اتساق الصيغ — فمثلًا C(n,n) = n! ÷ (n! × 0!) = 1، وهذا صحيح: توجد طريقة واحدة فقط لاختيار كل شيء.
ما أقصى قيمة يمكن أن يبلغها n؟
تستخدم الأداة حساب أعداد صحيحة كبيرة دقيقًا حتى n = 5000، وهو أبعد بكثير مما تتحمّله الآلات الحاسبة ذات الفاصلة العائمة دون أخطاء تقريب.
لماذا يعطي مثال منصة التتويج 60 تبديلًا لكن 10 توافيق فقط لنفس 5 أشخاص و3 مراكز؟
يحسب التباديل كل ترتيب متمايز على حدة: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 60. أما التوافيق فيجمع كل ترتيبات نفس الأشخاص الثلاثة في مجموعة واحدة، بالقسمة على 3! = 6 لإزالة إعادات الترتيب — C(5,3) = 60/6 = 10. هذه النسبة 6 إلى 1 هي بالضبط r! = 3! = 6، أي عدد طرق ترتيب العناصر الثلاثة المختارة.
لماذا يساوي C(n,r) دائمًا C(n, n-r)؟
اختيار أي r عناصر لإدراجها هو نفس القرار الذي يعني اختيار أي n-r عناصر لاستبعادها — فكلاهما يصف التقسيم نفسه للمجموعة إلى جزأين. فمثلًا C(10,3) = C(10,7) = 120: اختيار 3 أشخاص للجنة يحدد تلقائيًا أي 7 أشخاص ليسوا فيها.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة التوافيق والتباديل
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!