حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
احسب القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين أو أكثر مع عرض خطوات الحل.
1,524 مشاهدة
كيف يُحسب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟
القاسم المشترك الأكبر (GCD) لعددين هو أكبر عدد يقسم كليهما دون باقٍ. وأسرع طريقة لإيجاده هي خوارزمية إقليدس، المعروفة منذ نحو 300 قبل الميلاد: يُقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر، ثم يحل الباقي محل العدد الأكبر، وتُكرر العملية. وحين يصل الباقي أخيرًا إلى 0، يكون آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
مثال محلول — GCD(48, 18): 48 = 2 × 18 + 12، ثم 18 = 1 × 12 + 6، ثم 12 = 2 × 6 + 0. بما أن الباقي أصبح 0 للتو، فإن المقسوم عليه في تلك الخطوة، وهو 6، هو القاسم المشترك الأكبر. لم تكن هناك حاجة إلى التحليل إلى عوامل أولية، واستغرقت العملية ثلاث خطوات فقط — وهذه السرعة بالذات هي سبب اعتماد الآلات الحاسبة والحواسيب داخليًا على خوارزمية إقليدس بدلًا من القسمة بالتجربة.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) هو أصغر عدد يقبل القسمة عليه العددان الأصليان كلاهما دون باقٍ. وبمجرد معرفة القاسم المشترك الأكبر، يُستنتج المضاعف المشترك الأصغر مباشرة من معادلة واحدة: LCM(a,b) = (a × b) ÷ GCD(a,b). وفي المثال نفسه، LCM(48,18) = (48 × 18) ÷ 6 = 864 ÷ 6 = 144. وتظل العلاقة GCD × LCM = a × b صحيحة دائمًا لأي عددين صحيحين موجبين، وهي طريقة عملية للتحقق من صحة نتيجة محسوبة يدويًا.
عند إدخال أكثر من عددين، تختزل الأداة القائمة زوجًا زوجًا: تحسب أولًا GCD(a,b)، ثم تحسب القاسم المشترك الأكبر لتلك النتيجة مع c، وهكذا؛ ويُحسب المضاعف المشترك الأصغر بالطريقة نفسها، بإضافة عدد واحد في كل مرة.
ما يجب أن تعرفه
- تبسيط الكسور. لاختزال كسر إلى أبسط صورة، يُقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر. فمثلًا 24/36 له GCD(24,36) = 12، فيتبسط إلى 2/3 في خطوة واحدة — دون حاجة إلى التجربة والخطأ.
- المقامات المشتركة. عند جمع كسور ذات مقامات مختلفة، يعطي المضاعف المشترك الأصغر للمقامات أصغر مقام مشترك يمكن العمل به، مما يبقي الأعداد يسيرة التعامل بدلًا من ضرب المقامات ببعضها مباشرة.
- الأعداد الأولية فيما بينها. إذا لم يشترك عددان في أي عامل غير 1 (مثل 8 و9)، يكون قاسمهما المشترك الأكبر 1 ومضاعفهما المشترك الأصغر هو ببساطة حاصل ضربهما — GCD(8,9) = 1، LCM(8,9) = 72.
- خطأ شائع هو افتراض أن القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد أو أكثر هو نفسه قاسم عددين منها فقط؛ يجب دائمًا اختزال القائمة كاملة، لأن عاملًا مشتركًا بين عددين قد لا يكون مشتركًا بين جميع الأعداد.
- استخدام واقعي. يجيب المضاعف المشترك الأصغر عن سؤال "متى يتطابق موعدا حدثين متكررين مجددًا" (حافلتان تنطلقان كل 12 و18 دقيقة تنطلقان معًا مجددًا كل LCM(12,18) = 36 دقيقة)، بينما يجيب القاسم المشترك الأكبر عن سؤال "ما أكبر مجموعة متساوية الحجم يمكن تقسيم الأشياء إليها".
الأسئلة الشائعة
ما استخدامات القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟
يُستخدم القاسم المشترك الأكبر لتبسيط الكسور (بقسمة البسط والمقام عليه) ولتقسيم الأشياء إلى أكبر مجموعات متساوية ممكنة. أما المضاعف المشترك الأصغر فيُستخدم لإيجاد المقامات المشتركة والإجابة عن أسئلة مثل "متى يتزامن حدثان متكرران".
هل يمكنني إدخال أكثر من عددين؟
نعم. افصل بينها بفواصل — مثل 12، 18، 24. تختزل الأداة القائمة كاملة: GCD(12,18,24) = 6 وLCM(12,18,24) = 72.
ماذا لو لم تشترك الأعداد في أي عامل؟
عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر 1 (الأعداد أولية فيما بينها)، ويكون المضاعف المشترك الأصغر ببساطة حاصل ضربها — مثل GCD(8,9) = 1، LCM(8,9) = 72.
كيف تعمل خوارزمية إقليدس خطوة بخطوة؟
يُقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر ويُسجَّل الباقي؛ ثم يصبح العدد الأصغر هو المقسوم عليه الجديد، ويصبح الباقي هو المقسوم الجديد، وتتكرر العملية حتى يصل الباقي إلى 0. في مثال GCD(48,18): 48=2×18+12، 18=1×12+6، 12=2×6+0 — وحين يصل الباقي إلى الصفر، يكون آخر مقسوم عليه، وهو 6، هو القاسم المشترك الأكبر.
ما العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟
لأي عددين صحيحين موجبين، تتحقق دائمًا المعادلة GCD × LCM = a × b. لذا بمجرد معرفة القاسم المشترك الأكبر، يُستنتج المضاعف المشترك الأصغر مباشرة من LCM(a,b) = (a × b) ÷ GCD(a,b) — فمثلًا GCD(48,18)=6، وبالتالي LCM(48,18) = (48×18)/6 = 144.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!