calculate EBOB EKOK Hesaplama star

EBOB ve EKOK Nasıl Hesaplanır?

İki sayının EBOB'u (en büyük ortak bölen), her ikisini de kalansız bölen en büyük sayıdır. Bunu bulmanın en hızlı yolu, kökeni MÖ 300'lere dayanan Öklid algoritmasıdır: büyük sayı küçük sayıya bölünür, ardından büyük sayının yerine bölümden kalan yazılır ve işlem tekrarlanır. Kalan sıfıra ulaştığında, bir önceki adımdaki bölen EBOB'tur.

Örnek — EBOB(48, 18): 48 = 2×18 + 12, ardından 18 = 1×12 + 6, ardından 12 = 2×6 + 0. Kalan artık sıfır olduğundan, bu adımdaki bölen olan 6, EBOB'tur. Asal çarpanlara ayırmaya gerek kalmadı ve işlem yalnızca üç adım sürdü — hesap makinelerinin ve bilgisayarların iç mekanizmada deneme yanılma yerine tam olarak bu algoritmayı kullanmasının nedeni de bu hızdır.

EKOK (en küçük ortak kat) ise her iki sayıya da tam bölünen en küçük sayıdır. EBOB bilindiğinde EKOK tek bir formülle bulunur: EKOK(a,b) = (a × b) ÷ EBOB(a,b). Aynı örnekte EKOK(48,18) = (48 × 18) ÷ 6 = 864 ÷ 6 = 144. EBOB × EKOK = a × b ilişkisi her zaman geçerlidir; bu, elle yapılan bir hesabı hızlıca kontrol etmenin pratik bir yoludur.

İkiden fazla sayı için araç listeyi ikişer ikişer indirger: önce EBOB(a,b) bulunur, sonra bu sonucun c ile EBOB'u alınır ve böyle devam eder; EKOK de aynı mantıkla bir seferde bir sayı katılarak hesaplanır.

Bilinmesi Gerekenler

• Kesir sadeleştirme. Bir kesri en sade haline indirmek için pay ve paydayı EBOB'larına bölün. 24/36'nın EBOB'u 12'dir, dolayısıyla tek adımda 2/3'e sadeleşir — küçük ortak çarpanları tahmin etmeye gerek kalmaz.
• Ortak payda. Farklı paydalı kesirleri toplarken, paydaların EKOK'u en küçük ortak paydayı verir; sayıları büyütmeden işlemi yönetilebilir tutar.
• Aralarında asal sayılar. İki sayının 1 dışında ortak böleni yoksa (örn. 8 ve 9), EBOB'ları 1'dir ve EKOK'ları basitçe çarpımlarına eşittir — EBOB(8,9) = 1, EKOK(8,9) = 72.
• Yaygın bir hata, üç veya daha fazla sayının EBOB'unu yalnızca ikisine bakarak bulmaya çalışmaktır; her zaman tüm listeyi indirgeyin, çünkü iki sayı arasında ortak olan bir çarpan tüm sayılarda ortak olmayabilir.
• Günlük hayatta kullanım. EKOK, "iki tekrarlayan program ne zaman yeniden çakışır" sorusuna yanıt verir (örneğin 12 ve 18 dakikada bir kalkan iki otobüs, EKOK(12,18) = 36 dakikada bir aynı anda kalkar); EBOB ise "bir şeyi bölebileceğim en büyük eşit grup kaç kişilik olur" sorusuna yanıt verir — örneğin 48 kalem ve 18 defteri, her birinde eşit sayıda ürün olacak şekilde en fazla EBOB(48,18) = 6 pakete ayırabilirsiniz.
• Neden Öklid algoritması? Sayıları asal çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları karşılaştırmak da EBOB'u bulur, ama büyük sayılarda çarpanlara ayırmak yavaştır ve büyük asal sayılar için pratikte imkânsız hale gelebilir. Öklid algoritması çarpanlara hiç ihtiyaç duymadan, yalnızca bölme işlemiyle ilerlediği için, basamak sayısı ne kadar büyük olursa olsun birkaç adımda sonuca ulaşır.