functions Kombinasyon ve Permütasyon Hesaplama star

Kombinasyon ve Permütasyon Farkı, Nasıl Hesaplanır?

Her iki formül de n elemanlı bir gruptan r tanesini seçmenin kaç yolu olduğunu sayar, ancak seçimin sırasının önemli olup olmamasına göre farklı bir soruya cevap verirler.

Permütasyonda sıra önemlidir — seçilen iki eleman yer değiştirdiğinde farklı, ayrı bir sonuç ortaya çıkar. Formül: P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. Kombinasyonda sıra önemsizdir — nasıl sıralanmış olursa olsun aynı grup yalnızca bir kez sayılır. Formül: C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!); bu aslında permütasyon formülünün, seçilen r elemanın yeniden sıralanma yollarını iptal etmek için r!'e bölünmüş halidir.

Somut örnek: 5 kişiden 3'ünü seçip kürsüye — 1., 2., 3. — yerleştirmek bir permütasyondur, çünkü Ayşe-Burak-Cem'in 1.-2.-3. olması, Burak-Ayşe-Cem'den farklı bir sonuçtur. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 olası sıralama vardır. Aynı 3 kişiyi sırasız bir 3 kişilik komiteye seçmek ise kombinasyondur — Ayşe, Burak ve Cem'den oluşan komite, kim önce sayılırsa sayılsın aynı komitedir. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 olası komite vardır. İkisinde de aynı 5 kişiden 3 tanesi seçiliyor, ama farklı soru — sıralama önemli mi? — cevabı 60'tan 10'a düşürüyor.

Araç ayrıca her iki formülün de temel yapı taşı olan düz faktöriyeli (n!) hesaplar: n!, 1'den n'e kadar tüm tamsayıların çarpımıdır ve inanılmaz hızlı büyür (10! zaten 3.628.800'dür). Sıradan bir hesap makinesinin hassasiyetinin yetmeyeceği kadar büyük n değerlerinde bu araç, kayan noktalı matematik yerine kesin büyük tamsayı aritmetiği kullanır; böylece n = 5000'e kadar sonuçlar yuvarlanmış bilimsel gösterim yerine son basamağına kadar doğru çıkar.

Bilinmesi Gerekenler

• En hızlı test: "aynı elemanları yeniden sıralarsam sonuç değişir mi?" diye sorun. Cevap evetse permütasyon, hayırsa kombinasyon kullanın. Loto sayıları, komiteler, kart elleri ve malzeme listeleri kombinasyondur. Şifreler, yarış sıralamaları ve kürsü dereceleri permütasyondur.
• 0! = 1, hesapla değil tanımla belirlenir — sıfır elemanı düzenlemenin tam olarak bir yolu vardır (hiçbir şey yapmamak) ve bu kural C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 gibi formüllerin doğru kalmasını sağlar: bir grubun tamamını seçmenin yalnızca bir yolu vardır.
• C(n,r) her zaman C(n, n−r)'ye eşittir — 10 kişiden hangi 3'ünün komiteye gireceğini seçmek, hangi 7'sinin dışarıda kalacağını seçmekle aynı sayıdadır, çünkü ikisi de aynı bölünmeyi tarif eder.
• Sık yapılan bir hata, gerçekte sırasız olan bir durumda (çekiliş gibi) permütasyon formülünü kullanmaktır; bu, sonucu r! kadar şişirir — bir formül seçmeden önce sırayı değiştirmenin sonucu değiştirip değiştirmediğini mutlaka doğrulayın.
• Ölçek: bu araç n = 5000'e kadar kesin büyük-tamsayı sonuçlarıyla çalışır; sıradan kayan noktalı hesap makinelerinin yuvarlamaya veya taşmaya başladığı noktanın çok ötesindedir.