calculate ggT & kgV Rechner star

Wie werden ggT und kgV berechnet?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Der schnellste Weg, ihn zu finden, ist der euklidische Algorithmus, bekannt seit etwa 300 v. Chr.: Die größere Zahl wird durch die kleinere geteilt, dann tritt der Rest an die Stelle der größeren Zahl, und der Vorgang wiederholt sich. Sobald der Rest schließlich 0 erreicht, ist der zuletzt von Null verschiedene Rest der ggT.

Beispiel — ggT(48, 18): 48 = 2 × 18 + 12, dann 18 = 1 × 12 + 6, dann 12 = 2 × 6 + 0. Der Rest wurde gerade 0, also ist der Divisor an dieser Stelle, 6, der ggT. Eine Primfaktorzerlegung war dafür nicht nötig, und der Vorgang brauchte nur drei Schritte — genau diese Geschwindigkeit ist der Grund, warum Taschenrechner und Computer intern den euklidischen Algorithmus statt Probedivision verwenden.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die durch beide Ausgangszahlen ohne Rest teilbar ist. Ist der ggT bekannt, ergibt sich das kgV direkt aus einer einzigen Formel: kgV(a,b) = (a × b) ÷ ggT(a,b). Für dasselbe Zahlenpaar gilt kgV(48,18) = (48 × 18) ÷ 6 = 864 ÷ 6 = 144. Die Beziehung ggT × kgV = a × b gilt immer für zwei beliebige positive ganze Zahlen — praktisch, um ein von Hand berechnetes Ergebnis schnell zu überprüfen.

Bei mehr als zwei Zahlen reduziert das Tool die Liste paarweise: Zuerst wird ggT(a,b) berechnet, dann der ggT dieses Ergebnisses mit c, und so weiter; das kgV wird genauso Schritt für Schritt gebildet, indem jeweils eine weitere Zahl einbezogen wird.

Was Sie wissen sollten

• Bruchvereinfachung. Um einen Bruch auf den kleinsten Nenner zu kürzen, teilt man Zähler und Nenner durch ihren ggT. 24/36 hat ggT(24,36) = 12, sodass er sich in einem Schritt zu 2/3 vereinfacht — kein Ausprobieren nötig.
• Gemeinsame Nenner. Beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern liefert das kgV der Nenner den kleinsten gemeinsamen Nenner und hält die Zahlen überschaubar, statt die Nenner einfach zu multiplizieren.
• Teilerfremde Zahlen. Haben zwei Zahlen außer der 1 keinen gemeinsamen Faktor (z. B. 8 und 9), ist ihr ggT 1 und ihr kgV einfach ihr Produkt — ggT(8,9) = 1, kgV(8,9) = 72.
• Ein häufiger Fehler besteht darin, anzunehmen, der ggT von drei oder mehr Zahlen entspreche dem ggT von nur zweien; reduzieren Sie immer die gesamte Liste, denn ein Faktor, den zwei Zahlen gemeinsam haben, muss nicht bei allen vorkommen.
• Praktischer Nutzen. Das kgV beantwortet die Frage „Wann treffen sich zwei wiederkehrende Zeitpläne wieder" (zwei Busse, die alle 12 bzw. 18 Minuten abfahren, starten wieder gemeinsam alle kgV(12,18) = 36 Minuten), während der ggT beantwortet, wie groß die größte gleich große Gruppe ist, in die sich etwas aufteilen lässt.