functions Kombinationen- und Permutationsrechner star

Kombination gegen Permutation — und wie man sie berechnet

Beide Formeln zählen, auf wie viele Arten man r Elemente aus einer Gruppe von n auswählen kann, aber sie beantworten eine unterschiedliche Frage, je nachdem, ob die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt.

Bei einer Permutation zählt die Reihenfolge — vertauscht man zwei gewählte Elemente, entsteht ein anderes, eigenständiges Ergebnis. Die Formel lautet P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. Bei einer Kombination zählt die Reihenfolge nicht — dieselbe Gruppe wird nur einmal gezählt, egal wie sie angeordnet war. Die Formel lautet C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!), was schlicht die Permutationsformel geteilt durch r! ist, um die Möglichkeiten, dieselben r Elemente neu anzuordnen, herauszukürzen.

Ein durchgerechnetes Beispiel: Aus 5 Personen 3 auszuwählen, um ein Podium zu besetzen — 1., 2., 3. Platz — ist eine Permutation, denn Anna-Ben-Clara auf 1.-2.-3. ist ein anderes Ergebnis als Ben-Anna-Clara. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 mögliche Reihenfolgen. Dieselben 3 Personen für ein ungeordnetes 3-köpfiges Komitee auszuwählen, ist dagegen eine Kombination — Anna, Ben und Clara als Komitee sind dasselbe Komitee, egal wer zuerst genannt wurde. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 mögliche Komitees. Beide verwenden dieselben 5 Personen und wählen 3 aus, aber die unterschiedliche Frage — spielt die Anordnung eine Rolle? — verändert die Antwort von 60 auf 10.

Das Tool berechnet außerdem einfache Fakultäten (n!), den Baustein hinter beiden Formeln: n! ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n und wächst extrem schnell (10! ist bereits 3.628.800). Für n-Werte, die groß genug sind, dass einem gewöhnlichen Taschenrechner die Genauigkeit ausgeht, verwendet dieses Tool exakte Big-Integer-Arithmetik statt Gleitkommamathematik, sodass Ergebnisse bis n = 5000 bis zur letzten Ziffer präzise herauskommen statt in gerundeter wissenschaftlicher Notation.

Was Sie wissen sollten

• Der schnellste Test: Fragen Sie sich „Wenn ich dieselben Elemente neu anordne, ist das Ergebnis dann anders?" Falls ja, verwenden Sie eine Permutation; falls nein, eine Kombination. Lottozahlen, Komitees, Kartenhände und Zutatenlisten sind Kombinationen. Passwörter, Rennplatzierungen und Podiumsplätze sind Permutationen.
• 0! = 1 per Definition, nicht durch Berechnung — es gibt genau eine Möglichkeit, null Elemente anzuordnen (nichts tun), und diese Konvention hält Formeln wie C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 korrekt: Es gibt nur eine Möglichkeit, eine ganze Gruppe auszuwählen.
• C(n,r) ist immer gleich C(n, n−r) — auszuwählen, welche 3 von 10 Personen einem Komitee beitreten, ist dieselbe Anzahl wie auszuwählen, welche 7 draußen bleiben, da beide dieselbe Aufteilung beschreiben.
• Ein häufiger Fehler ist es, die Permutationsformel für eine tatsächlich ungeordnete Situation zu verwenden (etwa eine Verlosung), was die Anzahl um den Faktor r! aufbläht — prüfen Sie immer, ob ein Vertauschen der Reihenfolge das Ergebnis ändert, bevor Sie eine Formel wählen.
• Größenordnung: Dieses Tool verarbeitet n bis 5000 mit exakten Big-Integer-Ergebnissen, weit über dem Punkt hinaus, an dem gewöhnliche Gleitkomma-Rechner zu runden oder überzulaufen beginnen.