functions Calculateur de combinaisons et permutations star

Combinaison ou permutation, et comment les calculer

Les deux formules comptent le nombre de façons de choisir r éléments parmi un groupe de n, mais elles répondent à une question différente selon que l'ordre de la sélection compte ou non.

Dans une permutation, l'ordre compte — échanger deux éléments choisis produit un résultat différent et distinct. La formule est P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas — le même groupe ne compte qu'une seule fois, quelle que soit la façon dont il a été arrangé. La formule est C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!), qui n'est autre que la formule de permutation divisée par r! pour annuler les façons de réordonner ces mêmes r éléments.

Exemple concret : parmi 5 personnes, en choisir 3 pour occuper un podium — 1re, 2e, 3e place — est une permutation, car Alice-Bob-Carole terminant 1re-2e-3e est un résultat différent de Bob-Alice-Carole. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 classements possibles. Choisir les 3 mêmes personnes pour former un comité de 3 membres sans ordre est une combinaison — Alice, Bob et Carole formant un comité restent le même comité, peu importe qui a été nommé en premier. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 comités possibles. Les deux cas utilisent les mêmes 5 personnes et en choisissent 3, mais la question différente — l'arrangement compte-t-il ? — fait passer la réponse de 60 à 10.

L'outil calcule aussi de simples factorielles (n!), la brique de base derrière les deux formules : n! est le produit de tous les entiers de 1 à n, et croît extrêmement vite (10! vaut déjà 3 628 800). Pour des valeurs de n assez grandes pour épuiser la précision d'une calculatrice ordinaire, cet outil utilise l'arithmétique exacte en grands entiers plutôt que les calculs en virgule flottante, de sorte que les résultats jusqu'à n = 5000 sortent précis jusqu'au dernier chiffre plutôt qu'en notation scientifique arrondie.

Ce qu'il faut savoir

• Le test le plus rapide : demandez-vous « si je réordonne les mêmes éléments, le résultat est-il différent ? » Si oui, utilisez la permutation ; sinon, la combinaison. Numéros de loterie, comités, mains de cartes et listes d'ingrédients sont des combinaisons. Mots de passe, classements de course et places sur le podium sont des permutations.
• 0! = 1 par définition, pas par calcul — il existe exactement une façon d'arranger zéro élément (ne rien faire), et cette convention garde correctes des formules comme C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 : il n'existe qu'une seule façon de choisir un groupe entier.
• C(n,r) est toujours égal à C(n, n−r) — choisir lesquels des 3 parmi 10 personnes rejoignent un comité revient au même décompte que choisir lesquels des 7 restent en dehors, puisque les deux décrivent la même répartition.
• Une erreur fréquente consiste à utiliser la formule de permutation pour une situation véritablement sans ordre (comme un tirage au sort), ce qui gonfle le décompte d'un facteur r! — vérifiez toujours si échanger l'ordre change le résultat avant de choisir une formule.
• Échelle : cet outil gère n jusqu'à 5000 avec des résultats exacts en grands entiers, bien au-delà du point où les calculatrices en virgule flottante ordinaires commencent à arrondir ou à déborder.