functions Calculadora de Combinaciones y Permutaciones star

Combinación frente a permutación, y cómo se calculan

Ambas fórmulas cuentan el número de formas de elegir r elementos de un grupo de n, pero responden a una pregunta distinta según si el orden de la selección importa o no.

En una permutación, el orden importa — intercambiar dos elementos elegidos produce un resultado diferente y distinto. La fórmula es P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. En una combinación, el orden no importa — el mismo grupo cuenta solo una vez sin importar cómo se haya ordenado. La fórmula es C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!), que es simplemente la fórmula de permutación dividida entre r! para cancelar las formas de reordenar esos mismos r elementos.

Ejemplo resuelto: de 5 personas, elegir 3 para ocupar un podio — 1.º, 2.º, 3.º puesto — es una permutación, porque que Alicia-Bruno-Carla queden 1.º-2.º-3.º es un resultado distinto de Bruno-Alicia-Carla. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 ordenaciones posibles. Elegir a las mismas 3 personas para formar un comité de 3 miembros sin orden es una combinación — Alicia, Bruno y Carla como comité son el mismo comité sin importar quién se nombró primero. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 comités posibles. Ambos casos usan las mismas 5 personas y eligen 3, pero la pregunta distinta — ¿importa el orden? — cambia la respuesta de 60 a 10.

La herramienta también calcula factoriales simples (n!), el elemento constitutivo detrás de ambas fórmulas: n! es el producto de todos los enteros del 1 al n, y crece extremadamente rápido (10! ya es 3.628.800). Para valores de n lo bastante grandes como para que una calculadora normal se quede sin precisión, esta herramienta usa aritmética exacta de enteros grandes en lugar de matemática de coma flotante, de modo que los resultados hasta n = 5000 salen precisos hasta el último dígito en lugar de en notación científica redondeada.

Lo que deberías saber

• La prueba más rápida: pregúntate "si reordeno los mismos elementos, ¿es un resultado diferente?" Si la respuesta es sí, usa permutación; si es no, usa combinación. Los números de lotería, los comités, las manos de cartas y las listas de ingredientes son combinaciones. Las contraseñas, las clasificaciones de carreras y los puestos del podio son permutaciones.
• 0! = 1 por definición, no por cálculo — hay exactamente una forma de ordenar cero elementos (no hacer nada), y esta convención mantiene correctas fórmulas como C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1: solo hay una forma de elegir un grupo entero.
• C(n,r) siempre es igual a C(n, n−r) — elegir cuáles 3 de 10 personas se unen a un comité es el mismo conteo que elegir cuáles 7 se quedan fuera, ya que ambas describen la misma división.
• Un error frecuente es usar la fórmula de permutación para una situación genuinamente sin orden (como un sorteo), lo que infla el conteo por un factor de r! — siempre hay que confirmar si intercambiar el orden cambia el resultado antes de elegir una fórmula.
• Escala: esta herramienta maneja n hasta 5000 con resultados exactos de enteros grandes, mucho más allá de donde las calculadoras de coma flotante comunes empiezan a redondear o desbordarse.