functions Calcolatore di Combinazioni e Permutazioni star

Combinazione contro permutazione, e come si calcolano

Entrambe le formule contano il numero di modi per scegliere r elementi da un gruppo di n, ma rispondono a una domanda diversa a seconda che l'ordine della selezione conti o no.

In una permutazione, l'ordine conta — scambiare due elementi scelti produce un risultato diverso e distinto. La formula è P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. In una combinazione, l'ordine non conta — lo stesso gruppo viene contato una sola volta indipendentemente da come è stato disposto. La formula è C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!), che è semplicemente la formula della permutazione divisa per r! per eliminare i modi di riordinare gli stessi r elementi.

Esempio svolto: scegliere 3 persone tra 5 per un podio — 1°, 2° e 3° posto — è una permutazione, perché Alice-Bob-Carol classificati 1°-2°-3° è un risultato diverso da Bob-Alice-Carol. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 possibili ordinamenti. Scegliere le stesse 3 persone per formare un comitato di 3 persone senza ordine è una combinazione — Alice, Bob e Carol come comitato sono lo stesso comitato indipendentemente da chi è stato nominato per primo. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 possibili comitati. Entrambe usano le stesse 5 persone e ne scelgono 3, ma la domanda diversa — l'ordine conta? — cambia la risposta da 60 a 10.

Lo strumento calcola anche i semplici fattoriali (n!), il mattone alla base di entrambe le formule: n! è il prodotto di ogni intero da 1 a n e cresce estremamente in fretta (10! è già 3.628.800). Per valori di n abbastanza grandi da esaurire la precisione di una calcolatrice normale, questo strumento usa l'aritmetica esatta dei numeri interi grandi invece della matematica in virgola mobile, così i risultati fino a n = 5000 escono precisi fino all'ultima cifra invece che in notazione scientifica arrotondata.

Cosa è utile sapere

• Il test più rapido: chiediti "se riordino gli stessi elementi, è un risultato diverso?" Se sì, usa la permutazione; se no, usa la combinazione. Numeri della lotteria, comitati, mani di carte ed elenchi di ingredienti sono combinazioni. Password, classifiche di gara e piazzamenti sul podio sono permutazioni.
• 0! = 1 per definizione, non per calcolo — esiste esattamente un modo di disporre zero elementi (non fare nulla), e questa convenzione mantiene corrette formule come C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1: esiste un solo modo di scegliere un intero gruppo.
• C(n,r) è sempre uguale a C(n, n−r) — scegliere quali 3 persone su 10 entrano in un comitato equivale a scegliere quali 7 restano fuori, poiché entrambe descrivono la stessa suddivisione.
• Un errore frequente è usare la formula della permutazione per una situazione realmente senza ordine (come un'estrazione a sorte), il che gonfia il conteggio di un fattore r! — verifica sempre se scambiare l'ordine cambia il risultato prima di scegliere una formula.
• Scala: questo strumento gestisce n fino a 5000 con risultati esatti su numeri interi grandi, ben oltre il punto in cui le normali calcolatrici in virgola mobile iniziano ad arrotondare o vanno in overflow.