functions 조합·순열 계산기 star

조합과 순열의 차이, 그리고 계산 방법

두 공식 모두 n개의 그룹에서 r개를 고르는 방법의 수를 세지만, 선택 순서가 중요한지 여부에 따라 서로 다른 질문에 답합니다.

순열에서는 순서가 중요합니다 — 선택된 두 항목의 자리를 바꾸면 다르고 별개인 결과가 됩니다. 공식은 P(n,r) = n! ÷ (n−r)!입니다. 조합에서는 순서가 중요하지 않습니다 — 어떻게 배열되었든 같은 그룹은 한 번만 셉니다. 공식은 C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)이며, 이는 순열 공식을 r!로 나누어 같은 r개 항목을 재배열하는 방법의 수를 없앤 것입니다.

계산 예시: 5명 중 3명을 뽑아 시상대의 1위, 2위, 3위에 세우는 것은 순열입니다. 앨리스-밥-캐럴이 1-2-3위로 마치는 것과 밥-앨리스-캐럴이 1-2-3위로 마치는 것은 서로 다른 결과이기 때문입니다. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60가지의 가능한 순서가 있습니다. 같은 3명을 순서 없는 3인 위원회로 구성하는 것은 조합입니다 — 앨리스, 밥, 캐럴로 이루어진 위원회는 누가 먼저 언급되었든 같은 위원회입니다. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10가지의 가능한 위원회가 있습니다. 둘 다 같은 5명 중 3명을 고르지만, "배열이 중요한가?"라는 다른 질문이 답을 60에서 10으로 바꿉니다.

이 도구는 두 공식의 기본 요소인 단순 팩토리얼(n!)도 계산합니다: n!은 1부터 n까지의 모든 정수의 곱이며 매우 빠르게 커집니다(10!은 벌써 3,628,800입니다). 일반 계산기가 정밀도의 한계에 이를 만큼 n이 커지면, 이 도구는 부동소수점 연산 대신 정확한 큰 정수 연산을 사용하므로, n = 5000까지의 결과가 반올림된 지수 표기가 아니라 마지막 자리까지 정확하게 나옵니다.

알아두면 좋은 점

• 가장 빠른 판별법: "같은 항목의 순서를 바꾸면 결과가 달라지는가?"라고 물어보세요. 그렇다면 순열을, 아니라면 조합을 사용하세요. 복권 번호, 위원회, 카드 패, 재료 목록은 조합입니다. 비밀번호, 경주 순위, 시상대 결과는 순열입니다.
• 0! = 1은 계산이 아니라 정의에 의한 것입니다 — 항목이 0개일 때 배열하는 방법은 정확히 한 가지(아무것도 하지 않는 것)뿐이며, 이 관례 덕분에 C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1 같은 공식이 올바르게 유지됩니다: 그룹 전체를 선택하는 방법은 오직 한 가지뿐입니다.
• C(n,r)은 항상 C(n, n−r)과 같습니다 — 10명 중 어떤 3명이 위원회에 들어갈지 고르는 것은 어떤 7명이 빠질지 고르는 것과 같은 경우의 수입니다. 둘 다 같은 방식으로 그룹을 나누는 것을 나타내기 때문입니다.
• 흔히 저지르는 실수는 실제로 순서가 없는 상황(추첨 뽑기 등)에 순열 공식을 사용하는 것이며, 이는 경우의 수를 r!배만큼 부풀립니다 — 공식을 고르기 전에 항상 순서를 바꾸는 것이 결과에 영향을 주는지 확인하세요.
• 범위: 이 도구는 n = 5000까지 정확한 큰 정수 결과로 처리하며, 이는 일반 부동소수점 계산기가 반올림되거나 오버플로되기 시작하는 지점을 훨씬 넘어선 범위입니다.