functions Calculadora de Combinação e Permutação star

Combinação x Permutação, e Como São Calculadas

Ambas as fórmulas contam de quantas formas é possível escolher r itens de um grupo de n, mas respondem a uma pergunta diferente dependendo de a ordem da seleção importar ou não.

Em uma permutação, a ordem importa — trocar dois itens escolhidos de lugar produz um resultado diferente e distinto. A fórmula é P(n,r) = n! ÷ (n−r)!. Em uma combinação, a ordem não importa — o mesmo grupo conta apenas uma vez, não importa como foi organizado. A fórmula é C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!), que é simplesmente a fórmula da permutação dividida por r! para cancelar as formas de reordenar os mesmos r itens.

Exemplo prático: de 5 pessoas, escolher 3 para ocupar um pódio — 1º, 2º, 3º lugar — é uma permutação, porque Alice-Bruno-Carla terminando em 1º-2º-3º é um resultado diferente de Bruno-Alice-Carla. P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 ordenações possíveis. Escolher as mesmas 3 pessoas para formar uma comissão de 3 pessoas sem ordem é uma combinação — Alice, Bruno e Carla como comissão são a mesma comissão, independentemente de quem foi citado primeiro. C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 comissões possíveis. Ambas usam as mesmas 5 pessoas e escolhem 3, mas a pergunta diferente — a organização importa? — muda a resposta de 60 para 10.

A ferramenta também calcula fatoriais simples (n!), o bloco de construção por trás de ambas as fórmulas: n! é o produto de todos os inteiros de 1 a n, e cresce extremamente rápido (10! já é 3.628.800). Para valores de n grandes o suficiente para esgotar a precisão de uma calculadora comum, esta ferramenta usa aritmética exata de inteiros grandes em vez de matemática de ponto flutuante, então resultados até n = 5000 saem precisos até o último dígito, em vez de em notação científica arredondada.

O Que Você Deve Saber

• O teste mais rápido: pergunte "se eu reordenar os mesmos itens, o resultado é diferente?" Se sim, use permutação; se não, use combinação. Números de loteria, comissões, mãos de cartas e listas de ingredientes são combinações. Senhas, classificações de corrida e resultados de pódio são permutações.
• 0! = 1 por definição, não por cálculo — existe exatamente uma forma de organizar zero itens (não fazer nada), e essa convenção mantém corretas fórmulas como C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1: existe apenas uma forma de escolher um grupo inteiro.
• C(n,r) sempre é igual a C(n, n−r) — escolher quais 3 de 10 pessoas entram em uma comissão é a mesma contagem que escolher quais 7 ficam de fora, já que ambas descrevem a mesma divisão.
• Um erro frequente é usar a fórmula de permutação em uma situação genuinamente sem ordem (como um sorteio), o que infla a contagem por um fator de r! — sempre confirme se trocar a ordem muda o resultado antes de escolher uma fórmula.
• Escala: esta ferramenta lida com n até 5000 com resultados exatos de inteiros grandes, muito além do ponto em que calculadoras comuns de ponto flutuante começam a arredondar ou estourar.