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Wie diese Statistiken berechnet werden

Fügen Sie eine beliebige Zahlenliste ein — getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche — und dieses Werkzeug berechnet auf einen Schlag das vollständige beschreibende Bild. Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl n. Der Median ist der mittlere Wert nach dem Sortieren der Daten: bei einer ungeraden Anzahl ist es der einzelne mittlere Wert, bei einer geraden Anzahl der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Der Modus ist der Wert (oder die Werte), der am häufigsten vorkommt; ein Datensatz kann einen Modus, mehrere gleich häufige Modi (bimodal oder multimodal) oder gar keinen aussagekräftigen Modus haben, wenn jeder Wert genau einmal vorkommt. Die Spannweite ist einfach der Maximalwert minus dem Minimalwert.

Varianz und Standardabweichung messen die Streuung. Die Populationsvarianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abstände jedes Werts vom Mittelwert, Σ(x - Mittelwert)² / n, und die Populationsstandardabweichung ist ihre Quadratwurzel, die die ursprünglichen Einheiten wiederherstellt. Zum Beispiel hat die Menge 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 einen Mittelwert von 5 und einen Modus von 4 (er kommt dreimal vor, öfter als jeder andere Wert); die Summe der quadrierten Abweichungen beträgt 32, was eine Populationsvarianz von 32/8 = 4 und eine Populationsstandardabweichung von genau 2 ergibt. Die Stichprobenvarianz teilt dieselbe Summe stattdessen durch n - 1, und die Stichprobenstandardabweichung ist ihre Quadratwurzel — hier ergibt das 32/7 ≈ 4,57 und etwa 2,14, beide größer als die Populationswerte aus denselben Zahlen.

Warum durch n - 1 teilen? Die Bessel-Korrektur

Dieser Unterschied ist keine Rundungslaune — es handelt sich um eine bewusste Korrektur, bekannt als Bessel-Korrektur, benannt nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen Friedrich Bessel aus dem 19. Jahrhundert. Ein Stichprobenmittelwert ist konstruktionsbedingt genau der Wert, der die quadrierten Abstände zu den Datenpunkten dieser Stichprobe minimiert. Deshalb unterschätzt die Messung der Streuung um diesen Mittelwert und die Division durch n systematisch die wahre Populationsvarianz — ein verzerrter Schätzer. Die Division durch n - 1 vergrößert das Ergebnis stattdessen gerade genug, um diese Unterschätzung zu korrigieren, und liefert so eine unverzerrte Schätzung aus den Stichprobendaten. Deshalb ist die Stichprobenformel, nicht die Populationsformel, die Standardwahl, wann immer Ihre Zahlen eine Teilmenge sind, die für eine größere, nicht vollständig erfasste Gruppe steht.

Mittelwert und Median können je nach Datenlage beide der nützlichere Kennwert sein. Der Median ist deutlich widerstandsfähiger gegenüber Ausreißern: In einer Einkommensverteilung ziehen wenige extrem hohe Verdiener den Mittelwert weit über das, was eine typische Person verdient, während der Median — der tatsächliche mittlere Wert — dort verankert bleibt, wo sich die meisten Daten wirklich befinden. Genau diese Widerstandsfähigkeit ist der Grund, warum Einkommens- und Immobilienpreisstatistiken meist als Median angegeben werden. Der Modus verhält sich wieder anders: Er kann mehr als einen Gipfel anzeigen (ein bimodaler Datensatz könnte zwei unterschiedliche zugrunde liegende Gruppen darstellen, die vermischt wurden), oder undefiniert sein, wenn jeder Wert im Datensatz einzigartig ist.