bar_chart 統計計算機 star

これらの統計量はどのように計算されるのか

カンマ、スペース、改行のいずれかで区切られた数値のリストを貼り付けると、このツールは記述統計の全体像を一度に計算します。平均値(算術平均)は、すべての値の合計を個数nで割ったものです。中央値は、データを並べ替えたときの真ん中の値です。個数が奇数のときはちょうど中央の1つの値、偶数のときは中央の2つの値の平均になります。最頻値は最も頻繁に現れる値(またはその複数)です。データセットには最頻値が1つだけの場合もあれば、複数の値が同じ回数で並ぶ場合(双峰性や多峰性)もあり、すべての値がちょうど1回ずつしか現れない場合は意味のある最頻値が存在しないこともあります。範囲は単純に最大値から最小値を引いたものです。

分散と標準偏差はデータのばらつきを測る指標です。母分散は、各値の平均からの差を2乗したものの平均、Σ(x - 平均)² / nであり、母標準偏差はその平方根で、元の単位に戻したものです。例えば、2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9という集合の平均は5、最頻値は4(他のどの値よりも多い3回出現)です。偏差の2乗の合計は32になるため、母分散は32/8 = 4、母標準偏差はちょうど2になります。標本分散は同じ合計をnではなくn - 1で割ったもので、標本標準偏差はその平方根です — この例では32/7 ≈ 4.57、およそ2.14となり、どちらも同じ数値から計算した母集団の値より大きくなります。

なぜn - 1で割るのか: ベッセルの補正

この差は単なる丸め誤差ではありません — これはベッセルの補正として知られる意図的な修正で、19世紀のドイツの数学者で天文学者でもあったフリードリヒ・ベッセルにちなんで名付けられています。標本平均は、その定義からして、その標本自身のデータ点までの2乗距離を最小化する特定の値です。そのため、その周りでばらつきを測定してnで割ると、真の母集団の分散を体系的に過小評価してしまいます — これは偏った推定量です。代わりにn - 1で割ると、その下方バイアスをちょうど補正するだけ結果が大きくなり、標本データから偏りのない推定値が得られます。これが、あなたの数値がより大きく、完全には測定されていない集団を代表する部分集合である場合には、母集団の公式ではなく標本の公式が標準的に選ばれる理由です。

平均値と中央値は、データによってどちらがより有用な要約になるかが変わります。中央値は外れ値に対してはるかに強いという特徴があります。所得の分布では、ごく少数の極端に高い所得を持つ人々が平均を、典型的な人の所得よりもかなり高く引き上げてしまいますが、中央値 — 実際の真ん中の値 — は、実際のデータの大部分がある場所にとどまり続けます。この頑健さこそが、所得や住宅価格の統計が通常中央値として報告される理由です。最頻値はまた違った振る舞いをします。複数のピークを特定できることもあり(双峰性のデータセットは、混ざり合った2つの異なる基礎集団を表している可能性があります)、集合内のすべての値が一意である場合は定義できないこともあります。