حاسبة الإحصاء
الصق قائمة أرقام واحصل فورًا على العدد والمجموع والمتوسط والوسيط والمنوال والمدى، وتباين وانحراف معياري لكل من المجتمع والعينة.
217 مشاهدة
كيف تُحسب هذه الإحصاءات
الصق أي قائمة أرقام — مفصولة بفواصل أو مسافات أو أسطر جديدة — وستحسب هذه الأداة الصورة الوصفية الكاملة دفعة واحدة. المتوسط (المتوسط الحسابي) هو مجموع كل القيم مقسومًا على العدد n. الوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات: بالنسبة لعدد فردي من القيم يكون الوسيط هو القيمة المركزية الوحيدة، وبالنسبة لعدد زوجي يكون متوسط القيمتين الوسطيتين. المنوال هو القيمة (أو القيم) الأكثر تكرارًا؛ يمكن أن تحتوي مجموعة البيانات على منوال واحد، أو عدة منوالات متعادلة (ثنائية أو متعددة المنوال)، أو لا منوال ذا معنى إذا ظهرت كل قيمة مرة واحدة بالضبط. المدى هو ببساطة القيمة القصوى مطروحًا منها القيمة الدنيا.
يقيس التباين والانحراف المعياري مدى التشتت. تباين المجتمع هو متوسط مربع المسافة بين كل قيمة والمتوسط، Σ(x - المتوسط)² / n، والانحراف المعياري للمجتمع هو جذره التربيعي، الذي يعيد الوحدات الأصلية. على سبيل المثال، المجموعة 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9 لها متوسط قدره 5 ومنوال قدره 4 (يظهر ثلاث مرات، أكثر من أي قيمة أخرى)؛ يبلغ مجموع مربعات انحرافاتها 32، مما يعطي تباين مجتمع قدره 32/8 = 4 وانحرافًا معياريًا للمجتمع يساوي 2 بالضبط. يقسّم تباين العينة المجموع نفسه على n - 1 بدلاً من n، والانحراف المعياري للعينة هو جذره التربيعي — وهنا تكون القيمتان 32/7 ≈ 4.57 ونحو 2.14، وكلتاهما أكبر من أرقام المجتمع المحسوبة من الأرقام ذاتها.
لماذا القسمة على n - 1؟ تصحيح بيسل
هذه الفجوة ليست خللاً في التقريب — بل هي تصحيح متعمد يُعرف بـتصحيح بيسل (Bessel's correction)، نسبةً إلى عالم الرياضيات والفلك الألماني فريدريش بيسل من القرن التاسع عشر. متوسط العينة هو، بحكم بنائه، القيمة المحددة التي تُقلّل المسافات التربيعية إلى نقاط بيانات تلك العينة نفسها إلى أدنى حد. ولهذا السبب، فإن قياس التشتت حوله والقسمة على n يُقلّل بشكل منهجي من التقدير الحقيقي لتباين المجتمع — أي أنه مُقدِّر متحيّز. القسمة على n - 1 بدلاً من ذلك تُضخّم النتيجة بالقدر الكافي فقط لتصحيح هذا التحيّز نحو الأسفل، منتجة تقديرًا غير متحيّز من بيانات العينة. لهذا السبب تكون صيغة العينة، لا صيغة المجتمع، هي الخيار المعياري كلما كانت أرقامك مجموعة فرعية تمثّل مجموعة أكبر لم تُقَس بالكامل.
يمكن أن يكون كل من المتوسط والوسيط الملخص الأكثر فائدة حسب طبيعة البيانات. الوسيط أكثر مقاومة للقيم الشاذة بكثير: ففي توزيع الدخل، تجذب حفنة من ذوي الدخل المرتفع جدًا المتوسط إلى ما هو أعلى بكثير مما يكسبه الشخص العادي، بينما يبقى الوسيط — القيمة الوسطى الفعلية — راسخًا عند حيث تقع معظم البيانات فعليًا. هذه المقاومة هي بالضبط السبب في أن إحصاءات الدخل وأسعار المنازل تُنشر عادة كوسيط. أما المنوال فيتصرف بشكل مختلف تمامًا: يمكن أن يحدد أكثر من قمة واحدة (قد تمثل مجموعة بيانات ثنائية المنوال مجموعتين مختلفتين أساسيتين ممزوجتين معًا)، أو يكون غير معرَّف عندما تكون كل قيمة في المجموعة فريدة.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الانحراف المعياري للمجتمع والانحراف المعياري للعينة؟
يفترض الانحراف المعياري للمجتمع (÷n) أن بياناتك تغطي كل عضو في المجموعة التي تهتم بها. أما الانحراف المعياري للعينة (÷n-1) فيفترض أنها مجموعة فرعية تُستخدم لتقدير مجموعة أكبر لم تُقَس بالكامل. صيغة العينة دائمًا أكبر قليلاً لنفس الأرقام — وهذا الفارق الإضافي هو تصحيح بيسل، الذي يعوّض ميل التباين المحسوب من العينة إلى التقليل من القيمة الحقيقية للمجتمع.
لماذا يُستخدم تصحيح بيسل (القسمة على n-1) لتباين العينة؟
متوسط العينة هو، بحكم تعريفه، القيمة التي تُقلّل المسافات التربيعية إلى نقاط بيانات تلك العينة المحددة إلى أدنى حد — لذا فإن قياس التشتت حوله والقسمة على n يُقلّل بشكل منهجي من التقدير الحقيقي لتباين المجتمع. القسمة على n-1 بدلاً من ذلك تصحح هذا التحيّز نحو الأسفل، مما يعطي تقديرًا غير متحيّز. سُمّي هذا التصحيح نسبةً إلى عالم الرياضيات والفلك الألماني فريدريش بيسل من القرن التاسع عشر.
متى يجب أن أستخدم الوسيط بدلاً من المتوسط؟
استخدم الوسيط عندما تحتوي بياناتك على قيم شاذة متطرفة قد تشوّه المتوسط. من الحالات المعروفة جيدًا الدخل: إذ يمكن لعدد قليل من ذوي الدخل المرتفع جدًا أن يجذبوا المتوسط إلى ما هو أعلى بكثير مما يكسبه معظم الناس فعليًا، بينما يبقى الوسيط — القيمة الوسطى الحقيقية — ممثِّلاً للواقع. لهذا السبب تُنشر إحصاءات الدخل وأسعار المنازل عادةً كوسيط.
هل يمكن أن تحتوي مجموعة بيانات على أكثر من منوال واحد، أو لا منوال على الإطلاق؟
نعم لكلتا الحالتين. إذا تعادلت قيمتان أو أكثر في أعلى تكرار، تكون المجموعة ثنائية المنوال (منوالان) أو متعددة المنوال (أكثر من اثنين)، ويُبلَّغ عن جميع القيم المتعادلة. وإذا ظهرت كل قيمة مرة واحدة بالضبط، فلا شيء يتكرر أكثر من غيره، لذا يكون المنوال غير معرَّف — ويظهر هنا كـ"لا يوجد".
كيف يُحدَّد المنوال بالضبط؟
تحسب الأداة عدد مرات ظهور كل قيمة، وتجد أعلى عدد تكرار، وتُبلغ عن كل قيمة تصل إلى ذلك العدد. إذا كان أعلى عدد تكرار هو 1 — أي لا شيء يتكرر — فلا يوجد منوال ذو معنى. وإذا كانت قيمة واحدة تتكرر بوضوح أكثر من البقية، فهي وحدها المنوال؛ وإذا تعادلت عدة قيم في أعلى عدد، تُدرج جميعها معًا.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة الإحصاء
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!