행렬 계산기
최대 5×5 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 전치를 수행하거나 정방 행렬의 행렬식을 구합니다 — 입력하는 즉시 결과가 표시됩니다.
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작동 방식
행렬 A의 크기(두 행렬이 필요한 연산에서는 행렬 B의 크기도 함께)를 선택하고 값을 입력한 뒤 연산을 고르십시오 — 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 전치, 행렬식 중 하나입니다. 덧셈과 뺄셈은 단순히 같은 위치의 값을 결합하는 연산이며 양쪽 행렬의 차원이 동일해야 합니다. 전치는 행렬을 대각선을 기준으로 뒤집어 행을 열로, 열을 행으로 바꿉니다.
행렬식은 재귀적 여인수 전개로 계산됩니다. 2×2 행렬 [[a,b],[c,d]]의 경우 det = ad − bc로 간단합니다. 그보다 큰 행렬에서는 계산기가 한 행(또는 열)을 선택한 뒤, 각 항목에 해당 항목의 행과 열을 지우고 남은 더 작은 "소행렬"의 행렬식을 곱하고, +와 −부호를 번갈아 적용하면서 그 결과들을 모두 더합니다. 3×3 예시: A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]]에 대해 첫 번째 행을 기준으로 전개하면 det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3이 됩니다. 이와 동일한 재귀적 방식은 행렬이 아무리 커도 결국 2×2 소행렬 단위로 내려가며, 이 도구가 지원하는 최대 5×5까지 적용됩니다. 행렬식이 정확히 0이면 그 행렬은 특이(singular) 행렬입니다 — 역행렬이 존재하지 않으며, 이는 그 행렬이 나타내는 연립방정식이 단 하나의 고유한 해를 갖지 않기 때문입니다.
알아두어야 할 점
행렬 곱셈은 일반적인 숫자 곱셈과 같은 연산이 아닙니다. A×B의 각 항목은 A의 한 행과 B의 한 열의 내적입니다 — 대응하는 항목끼리 곱한 뒤 모두 더합니다. 이 때문에 차원이 서로 맞아야 합니다: A의 열 개수는 B의 행 개수와 같아야 하며, 결과 행렬은 A의 행 개수와 B의 열 개수를 갖습니다. 이는 또한 행렬 곱셈이 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는 이유이기도 합니다: A×B는 대개 B×A와 같지 않으며, 차원이 반대 순서로 맞지 않으면 B×A 자체가 정의되지 않을 수도 있습니다.
- 덧셈과 뺄셈: 두 행렬은 항목 하나하나까지 정확히 같은 차원을 가져야 합니다.
- 곱셈: 안쪽 차원이 일치해야 합니다(A의 열 수 = B의 행 수); 순서가 바뀌면 결과도 달라집니다.
- 행렬식과 역행렬: 정방 행렬에서만 정의되며, 행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않습니다.
- 전치: 직사각형 행렬이라면 어떤 것에도 적용할 수 있으며 차원 제한이 없습니다.
자주 묻는 질문
왜 제 행렬들을 곱할 수 없나요?
행렬 곱셈 A×B는 A의 열 개수가 B의 행 개수와 같아야 합니다. 결과의 각 항목이 A의 한 행과 B의 한 열 사이의 내적이기 때문입니다. 차원이 맞도록 행렬 중 하나의 크기를 조정하십시오.
행렬식은 정방 행렬이 아닌 경우에도 계산되나요?
아니요 — 행렬식은 정방 행렬(행과 열의 수가 같은 행렬)에서만 정의됩니다. 행렬식은 그 행렬이 공간을 얼마나 확대·축소하는지를 나타내는데, 이는 입력 차원과 출력 차원이 같을 때만 의미가 있기 때문입니다. 먼저 행렬 A를 정방형으로 조정하십시오.
어떤 크기의 행렬을 지원하나요?
두 행렬 모두 최대 5×5까지 지원합니다 — 대부분의 수업 과제와 간단한 검산에는 충분히 크면서도, 여인수 전개가 브라우저에서 정확하고 즉각적으로 이루어질 만큼 작습니다.
A×B는 왜 대개 B×A와 다른가요?
각 항목이 첫 번째 행렬의 한 행과 두 번째 행렬의 한 열로부터 만들어지기 때문입니다 — 순서를 바꾸면 어떤 행이 어떤 열과 짝을 이루는지가 완전히 달라집니다. 두 곱이 같아지는 것은 (한 행렬이 단위행렬인 경우처럼) 특수한 경우뿐입니다.
행렬식이 0이라는 것은 실제로 무엇을 의미하나요?
그 행렬이 특이(singular) 행렬이라는 뜻입니다: 역행렬이 존재하지 않으며, 그 행렬이 나타내는 연립 일차방정식은 해가 아예 없거나 무한히 많습니다. 기하학적으로 행렬식이 0이라는 것은 그 행렬이 공간을 더 낮은 차원으로 눌러 찌그러뜨린다는 의미입니다 — 예를 들어 평면을 하나의 직선으로 만드는 것과 같습니다.
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