grid_view 行列計算機 star

使い方

行列A(2つの行列が必要な演算の場合は行列Bも)のサイズを選び、値を入力して、演算 — 加算、減算、乗算、転置、行列式のいずれかを選びます。加算と減算は対応する位置の値を単純に組み合わせるだけで、両方の行列が同じ次元であることが必要です。転置は行列を対角線に沿って反転させ、行を列に、列を行に入れ替えます。

行列式は再帰的な余因子展開によって計算されます。2×2行列 [[a,b],[c,d]] の場合は単純にdet = ad − bcです。それより大きな行列では、計算機はある行(または列)を選び、各要素にその要素の行と列を取り除いた後に残る小さな「小行列」の行列式を掛け、符号を+と−で交互に変えながら、結果を合計します。3×3の例:A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]]について1行目に沿って展開すると、det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3となります。この同じ再帰的な考え方は、対応する5×5までのどんなサイズでも、最終的に2×2の小行列にまで落とし込まれます。行列式がちょうどゼロの場合、その行列は特異(singular)です — 逆行列は存在しません。なぜなら、その行列が表す連立方程式が単一の一意な解を持たないからです。

知っておくべきこと

行列の乗算は、通常の数の掛け算とは異なる演算です。A×Bの各要素は、Aのある行とBのある列の内積です — 対応する要素同士を掛けて合計します。そのため次元を揃える必要があるのです:Aの列数はBの行数と等しくなければならず、結果はAの行数とBの列数を持ちます。これはまた、行列の乗算が一般に交換法則を満たさない理由でもあります:A×Bは通常B×Aと等しくならず、次元が逆順で成立しない場合はB×A自体が定義されないこともあります。

• 加算と減算:両方の行列が要素ごとにまったく同じ次元でなければなりません。
• 乗算:内側の次元が一致する必要があります(Aの列数 = Bの行数)。順序を変えると結果も変わります。
• 行列式と逆行列:正方行列にのみ定義されます。行列式がゼロの場合、逆行列は存在しません。
• 転置:どんな長方形の行列にも使えます。次元の制限はありません。