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Calculateur de matrices

Additionnez, soustrayez, multipliez, transposez des matrices jusqu'à 5×5, ou trouvez le déterminant d'une matrice carrée — résultats instantanés au fur et à mesure de la saisie.

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Matrice A
Matrice B

Comment ça marche

Choisissez la taille de la matrice A (et de la matrice B, lorsque l'opération nécessite deux matrices), saisissez les valeurs, puis choisissez une opération — addition, soustraction, multiplication, transposition ou déterminant. L'addition et la soustraction combinent simplement les positions correspondantes et nécessitent des dimensions identiques des deux côtés. La transposition retourne une matrice le long de sa diagonale, transformant les lignes en colonnes.

Le déterminant est calculé par développement récursif en cofacteurs. Pour une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]], il s'agit simplement de det = ad − bc. Pour toute matrice plus grande, le calculateur choisit une ligne (ou une colonne), et pour chaque élément le multiplie par le déterminant de la plus petite matrice « mineure » restant après suppression de la ligne et de la colonne de cet élément, en alternant les signes + et − au passage, puis additionne les résultats. Un exemple 3×3 : pour A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]], le développement le long de la première ligne donne det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3. La même idée récursive se ramène à des mineurs 2×2 quelle que soit la taille de la matrice, jusqu'à la limite de 5×5 prise en charge ici. Un déterminant exactement égal à zéro signifie que la matrice est singulière — elle n'a pas d'inverse, car le système d'équations qu'elle représente n'a pas de solution unique.

Ce qu'il faut savoir

La multiplication matricielle n'est pas la même opération que la multiplication de nombres ordinaires. Chaque élément de A×B est le produit scalaire d'une ligne de A avec une colonne de B — on multiplie les éléments correspondants et on les additionne. C'est pourquoi les dimensions doivent correspondre : le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B, et le résultat prend le nombre de lignes de A et le nombre de colonnes de B. Cela explique aussi pourquoi la multiplication matricielle n'est en général pas commutative : A×B n'est généralement pas égal à B×A, et B×A peut même ne pas être défini du tout si les dimensions ne le permettent pas dans l'autre sens.

  • Addition et soustraction : les deux matrices doivent avoir exactement les mêmes dimensions, élément par élément.
  • Multiplication : les dimensions internes doivent correspondre (colonnes de A = lignes de B) ; l'ordre change le résultat.
  • Déterminant et inverse : définis uniquement pour les matrices carrées ; un déterminant nul signifie qu'aucun inverse n'existe.
  • Transposition : fonctionne sur toute matrice rectangulaire, sans restriction de dimension.

Questions fréquentes

Pourquoi ne puis-je pas multiplier mes matrices ?

La multiplication matricielle A×B exige que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B, car chaque élément du résultat est un produit scalaire entre une ligne de A et une colonne de B. Redimensionnez l'une des matrices pour que les dimensions correspondent.

Le déterminant fonctionne-t-il pour des matrices non carrées ?

Non — un déterminant n'est défini que pour les matrices carrées (même nombre de lignes et de colonnes), car il mesure la façon dont la matrice met l'espace à l'échelle, ce qui n'a de sens que lorsque les dimensions d'entrée et de sortie correspondent. Redimensionnez d'abord la matrice A en une forme carrée.

Quelles tailles de matrices sont prises en charge ?

Jusqu'à 5×5 pour les deux matrices — assez grand pour la plupart des exercices et vérifications rapides, assez petit pour que le développement en cofacteurs reste exact et instantané dans le navigateur.

Pourquoi A×B est-il généralement différent de B×A ?

Parce que chaque élément est construit à partir d'une ligne de la première matrice et d'une colonne de la seconde — inverser l'ordre change entièrement les lignes associées aux colonnes. Ce n'est que dans des cas particuliers (comme lorsqu'une des matrices est la matrice identité) que les deux produits coïncident.

Que signifie réellement un déterminant nul ?

Cela signifie que la matrice est singulière : elle n'a pas d'inverse, et le système linéaire qu'elle représente n'a soit aucune solution, soit une infinité de solutions. Géométriquement, un déterminant nul signifie que la matrice écrase l'espace dans une dimension inférieure — un plan sur une droite, par exemple.

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