حاسبة المصفوفات
اجمع، اطرح، اضرب، أو انقل مصفوفات حتى 5×5، أو أوجد محدّد مصفوفة مربعة — نتائج فورية أثناء الكتابة.
1,174 مشاهدة
كيف تعمل الأداة
اختر حجم المصفوفة A (وحجم المصفوفة B عندما تتطلبها العملية)، أدخل القيم، ثم اختر العملية — الجمع أو الطرح أو الضرب أو النقل (transpose) أو المحدّد. يجمع الجمع والطرح المواضع المتناظرة ببساطة، ويتطلبان تطابق الأبعاد تمامًا في المصفوفتين. أما النقل فيقلب المصفوفة حول قطرها، محوّلًا الصفوف إلى أعمدة.
يُحسَب المحدّد عبر التوسيع التكراري بالمُتممات الجبرية. لمصفوفة 2×2 مثل [[a,b],[c,d]]، يكون المحدّد ببساطة det = ad − bc. أما للمصفوفات الأكبر، فتختار الحاسبة صفًا (أو عمودًا)، وتضرب كل عنصر فيه بمحدّد المصفوفة "الصغرى" الأصغر الناتجة عن حذف صف وعمود ذلك العنصر، مع تبديل إشارتَي + و− بالتناوب، ثم تجمع النتائج. مثال على مصفوفة 3×3: لـ A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]]، يعطي التوسيع على الصف الأول det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3. تنسحب الفكرة التكرارية نفسها إلى مصفوفات صغرى بحجم 2×2 مهما كبر حجم المصفوفة، حتى الحد الأقصى المدعوم هنا وهو 5×5. ومحدّد يساوي صفرًا تمامًا يعني أن المصفوفة متفردة (singular) — أي ليس لها معكوس، لأن نظام المعادلات الذي تمثله لا يملك حلًا وحيدًا محددًا.
ما ينبغي أن تعرفه
ضرب المصفوفات ليس نفس عملية ضرب الأعداد العادية. كل عنصر في A×B هو الجداء النقطي لصف من A مع عمود من B — تُضرَب العناصر المتناظرة ثم تُجمَع. ولهذا يجب أن تتطابق الأبعاد: يجب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B، وتأخذ النتيجة عدد صفوف A وعدد أعمدة B. وهذا يُفسّر أيضًا لماذا يكون ضرب المصفوفات عمومًا غير تبادلي: عادةً لا يساوي A×B الناتج B×A، بل قد لا يكون B×A مُعرَّفًا أصلًا إن لم تسمح الأبعاد بذلك بالاتجاه المعاكس.
- الجمع والطرح: يجب أن تتشارك المصفوفتان الأبعاد نفسها تمامًا، عنصرًا بعنصر.
- الضرب: يجب أن تتطابق الأبعاد الداخلية (أعمدة A = صفوف B)؛ وتغيير الترتيب يُغيّر النتيجة.
- المحدّد والمعكوس: مُعرَّفان فقط للمصفوفات المربعة؛ ومحدّد يساوي صفرًا يعني عدم وجود معكوس.
- النقل (transpose): يعمل على أي مصفوفة مستطيلة، دون أي قيود على الأبعاد.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا أستطيع ضرب مصفوفاتي؟
يتطلّب ضرب المصفوفات A×B أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B، لأن كل عنصر في الناتج هو جداء نقطي بين صف من A وعمود من B. غيّر حجم إحدى المصفوفتين حتى تتطابق الأبعاد.
هل يعمل المحدّد مع المصفوفات غير المربعة؟
لا — يُعرَّف المحدّد فقط للمصفوفات المربعة (عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة)، لأنه يقيس كيف تُغيّر المصفوفة مقياس الفضاء، وهذا لا معنى له إلا حين تتطابق أبعاد الدخل والخرج. غيّر أولًا حجم المصفوفة A إلى شكل مربع.
ما الأحجام المدعومة للمصفوفات؟
حتى 5×5 لكلتا المصفوفتين — كبيرة بما يكفي لمعظم الواجبات الدراسية والتحقّقات السريعة، وصغيرة بما يكفي لتبقى نتائج التوسيع بالمُتممات دقيقة وفورية داخل المتصفح.
لماذا يختلف A×B عادةً عن B×A؟
لأن كل عنصر يُبنى من صف في المصفوفة الأولى وعمود في الثانية — وتبديل الترتيب يُغيّر تمامًا أي الصفوف تقترن بأي الأعمدة. لا يتطابق الناتجان إلا في حالات خاصة (كأن تكون إحدى المصفوفتين مصفوفة الوحدة).
ما الذي يعنيه المحدّد الصفري فعليًا؟
يعني أن المصفوفة متفردة (singular): ليس لها معكوس، والنظام الخطي الذي تمثله إما لا يملك حلًا أو يملك عددًا لا نهائيًا من الحلول. هندسيًا، يعني المحدّد الصفري أن المصفوفة تُسطّح الفضاء إلى بُعد أقل — كتحويل مستوٍ إلى خط مثلًا.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة المصفوفات
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!