Matrix-Rechner
Addieren, subtrahieren, multiplizieren oder transponieren Sie Matrizen bis 5×5, oder berechnen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix — sofortige Ergebnisse während der Eingabe.
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So funktioniert es
Wählen Sie die Größe von Matrix A (und Matrix B, wenn die Operation zwei Matrizen benötigt), geben Sie die Werte ein und wählen Sie eine Operation — Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transponieren oder Determinante. Addition und Subtraktion kombinieren einfach die Werte an gleichen Positionen und erfordern auf beiden Seiten identische Dimensionen. Transponieren spiegelt eine Matrix an ihrer Diagonalen und macht aus Zeilen Spalten.
Die Determinante wird durch rekursive Kofaktorentwicklung berechnet. Für eine 2×2-Matrix [[a,b],[c,d]] ist sie einfach det = ad − bc. Bei größeren Matrizen wählt der Rechner eine Zeile (oder Spalte) und multipliziert jeden Eintrag mit der Determinante der kleineren "Minor"-Matrix, die nach dem Streichen von Zeile und Spalte dieses Eintrags übrig bleibt, wobei die Vorzeichen abwechselnd + und − sind, und summiert dann die Ergebnisse. Ein 3×3-Beispiel: Für A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]] ergibt die Entwicklung entlang der ersten Zeile det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3. Dieselbe rekursive Idee reduziert sich, egal wie groß die Matrix ist, letztlich immer auf 2×2-Minoren, bis zur hier unterstützten Obergrenze von 5×5. Eine Determinante von genau null bedeutet, dass die Matrix singulär ist — sie hat keine Inverse, weil das zugrunde liegende Gleichungssystem keine einzige eindeutige Lösung besitzt.
Was Sie wissen sollten
Die Matrixmultiplikation ist nicht dieselbe Operation wie die Multiplikation gewöhnlicher Zahlen. Jeder Eintrag von A×B ist das Skalarprodukt einer Zeile aus A mit einer Spalte aus B — entsprechende Einträge werden multipliziert und aufsummiert. Deshalb müssen die Dimensionen zueinander passen: Die Spaltenanzahl von A muss der Zeilenanzahl von B entsprechen, und das Ergebnis übernimmt die Zeilenanzahl von A und die Spaltenanzahl von B. Das erklärt auch, warum die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist: A×B entspricht meist nicht B×A, und B×A ist unter Umständen nicht einmal definiert, wenn die Dimensionen es umgekehrt nicht zulassen.
- Addition und Subtraktion: Beide Matrizen müssen exakt dieselben Dimensionen haben, Eintrag für Eintrag.
- Multiplikation: Die inneren Dimensionen müssen übereinstimmen (Spalten von A = Zeilen von B); die Reihenfolge verändert das Ergebnis.
- Determinante und Inverse: nur für quadratische Matrizen definiert; eine Determinante von null bedeutet, dass keine Inverse existiert.
- Transponieren: funktioniert bei jeder rechteckigen Matrix, ohne Einschränkungen bei den Dimensionen.
Häufig gestellte Fragen
Warum kann ich meine Matrizen nicht multiplizieren?
Die Matrixmultiplikation A×B erfordert, dass die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist, weil jeder Ergebniseintrag ein Skalarprodukt zwischen einer Zeile von A und einer Spalte von B ist. Ändern Sie die Größe einer der Matrizen, damit die Dimensionen zueinander passen.
Funktioniert die Determinante auch bei nicht-quadratischen Matrizen?
Nein — eine Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert (gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten), da sie misst, wie die Matrix den Raum skaliert, was nur Sinn ergibt, wenn Eingabe- und Ausgabedimensionen übereinstimmen. Ändern Sie zuerst Matrix A auf eine quadratische Form.
Welche Matrixgrößen werden unterstützt?
Bis zu 5×5 für beide Matrizen — groß genug für die meisten Kursaufgaben und schnellen Kontrollen, klein genug, dass die Kofaktorentwicklung im Browser exakt und sofort bleibt.
Warum unterscheidet sich A×B meist von B×A?
Weil jeder Eintrag aus einer Zeile der ersten Matrix und einer Spalte der zweiten gebildet wird — vertauscht man die Reihenfolge, ändert sich komplett, welche Zeilen mit welchen Spalten gepaart werden. Nur in Sonderfällen (etwa wenn eine Matrix die Einheitsmatrix ist) stimmen beide Produkte überein.
Was bedeutet eine Determinante von null eigentlich?
Sie bedeutet, dass die Matrix singulär ist: Sie hat keine Inverse, und das lineare Gleichungssystem, das sie darstellt, hat entweder keine Lösung oder unendlich viele. Geometrisch bedeutet eine Determinante von null, dass die Matrix den Raum in eine niedrigere Dimension zusammenstaucht — zum Beispiel eine Ebene auf eine Linie.
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