Calcolatore di Matrici
Somma, sottrai, moltiplica o trasponi matrici fino a 5×5, oppure trova il determinante di una matrice quadrata — risultati istantanei mentre digiti.
1.166 visualizzazioni
Come Funziona
Scegli la dimensione della Matrice A (e della Matrice B, quando l'operazione richiede due matrici), inserisci i valori e scegli un'operazione — addizione, sottrazione, moltiplicazione, trasposizione o determinante. Addizione e sottrazione combinano semplicemente le posizioni corrispondenti e richiedono dimensioni identiche su entrambi i lati. La trasposizione ribalta una matrice lungo la sua diagonale, trasformando le righe in colonne.
Il determinante viene calcolato tramite sviluppo ricorsivo per cofattori (Laplace). Per una matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] è semplicemente det = ad − bc. Per dimensioni maggiori, il calcolatore sceglie una riga (o colonna) e, per ogni elemento, lo moltiplica per il determinante della "minore" più piccola che rimane dopo aver eliminato la riga e la colonna di quell'elemento, alternando i segni + e − lungo il percorso, per poi sommare i risultati. Un esempio 3×3: per A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]], sviluppando lungo la prima riga si ottiene det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3. La stessa idea ricorsiva si riduce a minori 2×2 indipendentemente da quanto sia grande la matrice, fino al limite di 5×5 supportato qui. Un determinante esattamente pari a zero significa che la matrice è singolare — non ha inversa, perché il sistema di equazioni che rappresenta non possiede un'unica soluzione.
Cosa Sapere
La moltiplicazione tra matrici non è la stessa operazione della moltiplicazione tra numeri ordinari. Ogni elemento di A×B è il prodotto scalare di una riga di A con una colonna di B — si moltiplicano gli elementi corrispondenti e si sommano. Ecco perché le dimensioni devono corrispondere: il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B, e il risultato assume il numero di righe di A e il numero di colonne di B. Questo spiega anche perché la moltiplicazione tra matrici in genere non è commutativa: A×B di solito non è uguale a B×A, e B×A potrebbe addirittura non essere definito se le dimensioni non lo permettono nell'ordine inverso.
- Addizione e sottrazione: entrambe le matrici devono avere esattamente le stesse dimensioni, elemento per elemento.
- Moltiplicazione: le dimensioni interne devono corrispondere (colonne di A = righe di B); l'ordine cambia il risultato.
- Determinante e inversa: definiti solo per matrici quadrate; un determinante pari a zero significa che non esiste alcuna inversa.
- Trasposizione: funziona su qualsiasi matrice rettangolare, senza restrizioni di dimensione.
Domande Frequenti
Perché non riesco a moltiplicare le mie matrici?
La moltiplicazione A×B richiede che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B, perché ogni elemento del risultato è un prodotto scalare tra una riga di A e una colonna di B. Ridimensiona una delle matrici affinché le dimensioni corrispondano.
Il determinante funziona per matrici non quadrate?
No — un determinante è definito solo per matrici quadrate (stesso numero di righe e colonne), poiché misura come la matrice scala lo spazio, il che ha senso solo quando le dimensioni di ingresso e uscita coincidono. Ridimensiona prima la Matrice A in una forma quadrata.
Quali dimensioni di matrice sono supportate?
Fino a 5×5 per entrambe le matrici — abbastanza grande per la maggior parte degli esercizi e dei controlli rapidi, abbastanza piccolo da mantenere lo sviluppo per cofattori esatto e istantaneo nel browser.
Perché A×B è di solito diverso da B×A?
Perché ogni elemento è costruito a partire da una riga della prima matrice e una colonna della seconda — scambiare l'ordine cambia completamente quali righe si abbinano a quali colonne. Solo in casi speciali (ad esempio quando una matrice è l'identità) i due prodotti coincidono.
Cosa significa in pratica un determinante pari a zero?
Significa che la matrice è singolare: non ha inversa, e il sistema lineare che rappresenta non ha soluzione oppure ne ha infinite. Geometricamente, un determinante pari a zero significa che la matrice schiaccia lo spazio in una dimensione inferiore — un piano su una retta, per esempio.
Strumenti Simili
Segnala un Problema
Calcolatore di Matrici
Commenti
Ancora nessun commento — scrivi il primo!