Calculadora de Matrizes
Some, subtraia, multiplique ou transponha matrizes de até 5×5, ou encontre o determinante de uma matriz quadrada — resultados instantâneos enquanto você digita.
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Como Funciona
Escolha o tamanho da Matriz A (e da Matriz B, quando a operação exigir duas matrizes), digite os valores e escolha uma operação — soma, subtração, multiplicação, transposição ou determinante. Soma e subtração simplesmente combinam posições correspondentes e exigem dimensões idênticas nos dois lados. A transposição vira a matriz sobre sua diagonal, transformando linhas em colunas.
O determinante é calculado por expansão recursiva de cofatores. Para uma matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], é simplesmente det = ad − bc. Para matrizes maiores, a calculadora escolhe uma linha (ou coluna) e, para cada elemento, multiplica-o pelo determinante da matriz "menor" que sobra ao remover a linha e a coluna daquele elemento, alternando os sinais + e − ao longo do processo, e depois soma os resultados. Um exemplo 3×3: para A = [[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]], expandindo pela primeira linha temos det = 2×(3×1−2×1) − 0×(1×1−2×0) + 1×(1×1−3×0) = 2×1 − 0 + 1×1 = 3. A mesma ideia recursiva reduz tudo a menores 2×2, não importa quão grande seja a matriz, até o limite de 5×5 suportado aqui. Um determinante igual a exatamente zero significa que a matriz é singular — ela não tem inversa, porque o sistema de equações que representa não tem uma solução única.
O Que Saber
A multiplicação de matrizes não é a mesma operação que multiplicar números comuns. Cada elemento de A×B é o produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B — multiplique os elementos correspondentes e some os resultados. É por isso que as dimensões precisam se encaixar: o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, e o resultado tem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Isso também explica por que a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa: A×B normalmente não é igual a B×A, e na verdade B×A pode nem estar definido se as dimensões não permitirem a operação invertida.
- Soma e subtração: as duas matrizes precisam ter exatamente as mesmas dimensões, posição por posição.
- Multiplicação: as dimensões internas precisam coincidir (colunas de A = linhas de B); a ordem muda o resultado.
- Determinante e inversa: definidos apenas para matrizes quadradas; um determinante zero significa que não existe inversa.
- Transposição: funciona em qualquer matriz retangular, sem restrições de dimensão.
Perguntas Frequentes
Por que não consigo multiplicar minhas matrizes?
A multiplicação de matrizes A×B exige que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B, porque cada elemento do resultado é um produto escalar entre uma linha de A e uma coluna de B. Redimensione uma das matrizes para que as dimensões se encaixem.
O determinante funciona para matrizes não quadradas?
Não — um determinante só é definido para matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas), já que ele mede como a matriz escala o espaço, o que só faz sentido quando as dimensões de entrada e saída coincidem. Redimensione primeiro a Matriz A para um formato quadrado.
Quais tamanhos de matriz são suportados?
Até 5×5 para ambas as matrizes — grande o suficiente para a maioria das tarefas e verificações rápidas, e pequeno o suficiente para a expansão de cofatores permanecer exata e instantânea no navegador.
Por que A×B costuma ser diferente de B×A?
Porque cada elemento é construído a partir de uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda — trocar a ordem muda completamente quais linhas se combinam com quais colunas. Só em casos especiais (como quando uma das matrizes é a identidade) os dois produtos coincidem.
O que um determinante zero realmente significa?
Significa que a matriz é singular: ela não tem inversa, e o sistema linear que representa não tem solução ou tem infinitas soluções. Geometricamente, um determinante zero significa que a matriz achata o espaço em uma dimensão menor — um plano em uma linha, por exemplo.
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