monitoring 표준편차 계산기 star

표준편차는 어떻게 계산되나요

표준편차는 값들이 평균에서 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다. 계산 순서는 다음과 같습니다: 데이터 집합의 평균을 구합니다; 각 값에서 평균을 빼고 그 결과를 제곱합니다(이는 음수 부호를 없애고 더 큰 차이에 더 큰 가중치를 줍니다); 그 제곱한 차이들의 평균을 내어 분산을 얻습니다; 그런 다음 제곱근을 취해 원래 단위로 되돌리면 표준편차가 됩니다.

구체적으로, 데이터 집합 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9(n = 8)를 예로 들어 보겠습니다. 평균은 5입니다. 평균에서의 편차는 -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4이며, 각각을 제곱하면 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16이 되어 합은 32입니다. 이를 n = 8로 나누면 모집단 분산 4가 되고, 제곱근을 취하면 모집단 표준편차 2가 됩니다. 같은 합 32를 이번에는 n-1 = 7로 나누면 표본 분산은 약 4.57이 되고, 표본 표준편차는 약 2.14가 됩니다 — 완전히 같은 숫자에서 나온 모집단 값보다 눈에 띄게 더 큽니다.

이 차이는 반올림에 따른 우연이 아니라 베셀 보정(Bessel's correction)입니다. 실제 모집단 평균을 알지 못하고 표본에서 평균을 계산할 때, 그 표본 평균은 정의상 그 특정 표본에 대해 제곱 편차의 합을 최소화하는 값입니다 — 그래서 이를 중심으로 퍼짐을 측정하고 n으로 나누면 실제 모집단 분산을 체계적으로 과소평가하게 됩니다. n 대신 n-1로 나누면 이 하향 편향이 보정됩니다. 그래서 데이터가 전체 집단이 아니라 더 큰 집단을 대신하는 부분집합일 때는 표본 공식을 사용하는 것입니다.

알아야 할 것

모집단(÷n)은 데이터가 이미 관심 있는 집단의 모든 구성원을 포함할 때 사용합니다 — 특정 학급의 학생 30명 전원, 특정 배치의 모든 제품처럼 말입니다. 표본(÷n-1)은 데이터가 완전히 측정하지 않은 더 큰 집단에 대해 무언가를 추정하기 위한 부분집합일 때 사용합니다 — 전국 인구를 대신하는 500명 규모의 설문, 일반적인 현상을 대신하는 소수의 실험실 측정값처럼 말입니다. 표준편차는 분산과 달리 원본 데이터와 같은 단위(킬로그램, 초, 점수)로 표현됩니다. 분산은 제곱 단위이기 때문에 직접 해석하기가 더 어렵습니다 — 바로 이 때문에 보통 보고되는 수치는 분산이 아니라 표준편차입니다. 대체로 종 모양(정규분포)을 띠는 데이터에서는 값의 약 68%가 평균의 표준편차 1개 범위 안에, 약 95%가 2개 범위 안에 들어가며, 이는 특정 값이 일반적인 값에서 얼마나 벗어나 있는지를 빠르게 판단하는 방법이 됩니다.