Calcolatore della Deviazione Standard
Calcola all'istante media, varianza e deviazione standard (di popolazione e campionaria) di un insieme di dati.
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Come Viene Calcolata la Deviazione Standard
La deviazione standard misura quanto, in media, i valori si trovano lontano dalla media. I passaggi: trova la media dell'insieme di dati; sottraila da ciascun valore ed eleva il risultato al quadrato (questo elimina i segni negativi e pesa maggiormente le differenze più grandi); fai la media di quelle differenze al quadrato per ottenere la varianza; poi estrai la radice quadrata per tornare alle unità originali, il che dà la deviazione standard.
In concreto, prendi l'insieme di dati 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). La media è 5. Gli scarti dalla media sono -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4; elevando ciascuno al quadrato si ottiene 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, che sommati danno 32. Dividendo per n = 8 si ottiene una varianza di popolazione pari a 4, e la radice quadrata dà una deviazione standard di popolazione pari a 2. Dividendo invece quella stessa somma di 32 per n-1 = 7 si ottiene una varianza campionaria di circa 4,57, e una deviazione standard campionaria di circa 2,14 — notevolmente maggiore del valore di popolazione ottenuto dagli stessi identici numeri.
Quella differenza non è una stranezza di arrotondamento; è la correzione di Bessel. Quando calcoli la media da un campione anziché conoscere la vera media della popolazione, quella media campionaria è, per costruzione, il valore che minimizza la somma degli scarti al quadrato per quello specifico campione — quindi misurare la dispersione attorno ad essa e dividere per n sottostima sistematicamente la vera varianza della popolazione. Dividere per n-1 anziché per n corregge quella distorsione verso il basso, motivo per cui la formula campionaria si usa ogni volta che i tuoi dati sono un sottoinsieme che rappresenta un gruppo più ampio, non l'intero gruppo stesso.
Cosa Sapere
La popolazione (÷n) si usa quando i tuoi dati coprono già ogni membro del gruppo che ti interessa — tutti i 30 studenti di una specifica classe, tutti i prodotti di un lotto specifico. Il campione (÷n-1) si usa quando i tuoi dati sono un sottoinsieme utilizzato per stimare qualcosa su un gruppo più ampio che non hai misurato per intero — un sondaggio su 500 persone che rappresenta una popolazione nazionale, una manciata di misurazioni di laboratorio che rappresentano un fenomeno generale. La deviazione standard è espressa nella stessa unità dei dati originali (chilogrammi, secondi, punti), a differenza della varianza, che è in unità al quadrato ed è più difficile da interpretare direttamente — proprio per questo è la deviazione standard, non la varianza, il numero che di solito viene riportato. Per dati approssimativamente a campana (normali), circa il 68% dei valori rientra entro una deviazione standard dalla media e circa il 95% entro due, il che è un modo rapido per giudicare se un dato valore è insolitamente lontano dal tipico.
Domande Frequenti
Popolazione o campione — quale dovrei usare?
Se i tuoi dati coprono l'intero gruppo che ti interessa (ogni studente di una classe, ogni unità di un lotto), usa popolazione (÷n). Se è un sottoinsieme che rappresenta un gruppo più ampio che non hai misurato per intero (un sondaggio, una manciata di letture di laboratorio), usa campione (÷n-1), che dà una stima leggermente più grande e non distorta della vera varianza di quel gruppo più ampio.
Cos'è la correzione di Bessel e perché dividere per n-1 in un campione?
La media di un campione è, per definizione, il valore più vicino a tutti i punti di quel campione — quindi misurare la dispersione attorno ad essa e dividere per n sottostima la varianza della popolazione più ampia da cui proviene. Dividere per n-1 corregge invece quella distorsione sistematica verso il basso, motivo per cui la formula campionaria produce sempre un numero leggermente più grande rispetto alla formula di popolazione sugli stessi dati identici.
Cosa significa una deviazione standard di 5?
I valori tipici si trovano entro circa ±5 dalla media. Per dati approssimativamente normali (a campana), circa il 68% dei valori rientra entro una deviazione standard dalla media e circa il 95% entro due — quindi un valore a più di due deviazioni standard di distanza è genuinamente insolito per quell'insieme di dati.
Qual è la differenza tra varianza e deviazione standard?
La varianza è la distanza media al quadrato dalla media, quindi la sua unità è al quadrato (ad es. kg² se i dati sono in kg) ed è difficile da interpretare direttamente. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, espressa nella stessa unità dei dati originali — motivo per cui è lei, non la varianza, il numero che le persone effettivamente citano.
Un singolo valore anomalo cambia molto la deviazione standard?
Sì, in modo sproporzionato. Poiché ogni scarto viene elevato al quadrato prima di fare la media, un valore lontano dalla media contribuisce molto di più al totale rispetto a un valore tipico — un singolo valore anomalo estremo può gonfiare notevolmente la deviazione standard anche in un insieme di dati altrimenti ben raggruppato.
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