Standardabweichung Rechner
Berechnen Sie Mittelwert, Varianz und Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe) einer Datenreihe sofort.
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Wie die Standardabweichung berechnet wird
Die Standardabweichung misst, wie weit Werte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt liegen. Die Schritte: den Mittelwert der Datenreihe bestimmen; ihn von jedem Wert abziehen und das Ergebnis quadrieren (dies entfernt negative Vorzeichen und gewichtet größere Abweichungen stärker); den Durchschnitt dieser quadrierten Differenzen bilden, um die Varianz zu erhalten; dann die Quadratwurzel ziehen, um zu den ursprünglichen Einheiten zurückzukehren, was die Standardabweichung ergibt.
Konkret: Nehmen wir die Datenreihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Der Mittelwert ist 5. Die Abweichungen vom Mittelwert sind -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4; quadriert ergibt das 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, was zusammen 32 ergibt. Geteilt durch n = 8 ergibt sich eine Grundgesamtheits-Varianz von 4, und die Quadratwurzel ergibt eine Grundgesamtheits-Standardabweichung von 2. Teilt man dieselbe Summe von 32 stattdessen durch n-1 = 7, ergibt sich eine Stichprobenvarianz von etwa 4,57 und eine Stichproben-Standardabweichung von etwa 2,14 — spürbar größer als der Grundgesamtheitswert aus genau denselben Zahlen.
Dieser Unterschied ist keine Rundungslaune; es ist die Bessel-Korrektur. Wenn Sie den Mittelwert aus einer Stichprobe berechnen, statt den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit zu kennen, ist dieser Stichprobenmittelwert konstruktionsbedingt genau der Wert, der die Summe der quadrierten Abweichungen für diese spezifische Stichprobe minimiert — daher unterschätzt das Messen der Streuung um ihn herum und das Teilen durch n systematisch die wahre Varianz der Grundgesamtheit. Das Teilen durch n-1 statt durch n korrigiert diese Verzerrung nach unten, weshalb die Stichprobenformel immer dann verwendet wird, wenn Ihre Daten eine Teilmenge sind, die für eine größere Gruppe steht, und nicht die gesamte Gruppe selbst.
Was Sie wissen sollten
Grundgesamtheit (÷n) ist dafür da, wenn Ihre Daten bereits jedes Mitglied der Gruppe abdecken, die Sie interessiert — alle 30 Schüler einer bestimmten Klasse, alle Produkte einer bestimmten Charge. Stichprobe (÷n-1) ist dafür da, wenn Ihre Daten eine Teilmenge sind, die verwendet wird, um etwas über eine größere Gruppe zu schätzen, die Sie nicht vollständig gemessen haben — eine Umfrage unter 500 Personen, die für eine nationale Bevölkerung steht, eine Handvoll Laborwerte, die für ein allgemeines Phänomen stehen. Die Standardabweichung wird in derselben Einheit wie die ursprünglichen Daten ausgedrückt (Kilogramm, Sekunden, Punkte), im Gegensatz zur Varianz, die in quadrierten Einheiten vorliegt und schwerer direkt zu interpretieren ist — genau deshalb ist die Standardabweichung, nicht die Varianz, die Zahl, die üblicherweise berichtet wird. Bei annähernd glockenförmigen (normalverteilten) Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zweien, was eine schnelle Möglichkeit ist zu beurteilen, ob ein gegebener Wert ungewöhnlich weit vom Typischen entfernt ist.
Häufig gestellte Fragen
Grundgesamtheit oder Stichprobe — was soll ich verwenden?
Wenn Ihre Daten die gesamte Gruppe abdecken, die Sie interessiert (jeden Schüler einer Klasse, jede Einheit einer Charge), verwenden Sie Grundgesamtheit (÷n). Ist es eine Teilmenge, die für eine größere Gruppe steht, die Sie nicht vollständig gemessen haben (eine Umfrage, eine Handvoll Laborwerte), verwenden Sie Stichprobe (÷n-1), was eine etwas größere, unverzerrte Schätzung der wahren Varianz dieser größeren Gruppe liefert.
Was ist die Bessel-Korrektur, und warum teilt man bei einer Stichprobe durch n-1?
Der Mittelwert einer Stichprobe ist per Definition der Wert, der allen Punkten in dieser Stichprobe am nächsten liegt — daher unterschätzt das Messen der Streuung um ihn herum und das Teilen durch n die Varianz der breiteren Grundgesamtheit, aus der sie stammt. Das Teilen durch n-1 korrigiert stattdessen diese systematische Verzerrung nach unten, weshalb die Stichprobenformel bei identischen Daten stets eine etwas größere Zahl liefert als die Grundgesamtheitsformel.
Was bedeutet eine Standardabweichung von 5?
Typische Werte liegen innerhalb von etwa ±5 um den Mittelwert. Bei annähernd normalverteilten (glockenförmigen) Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zweien — ein Wert, der mehr als zwei Standardabweichungen entfernt liegt, ist also für diese Datenreihe wirklich ungewöhnlich.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist der durchschnittliche quadrierte Abstand vom Mittelwert, daher ist ihre Einheit quadriert (z. B. kg², wenn die Daten in kg vorliegen) und schwer direkt zu interpretieren. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, ausgedrückt in derselben Einheit wie die ursprünglichen Daten — deshalb ist es diese Zahl, nicht die Varianz, die Menschen tatsächlich nennen.
Verändert ein einzelner Ausreißer die Standardabweichung stark?
Ja, unverhältnismäßig stark. Da jede Abweichung vor der Mittelung quadriert wird, trägt ein Wert weit vom Mittelwert viel mehr zur Summe bei als ein typischer Wert — ein einzelner extremer Ausreißer kann die Standardabweichung deutlich erhöhen, selbst in einer ansonsten eng geclusterten Datenreihe.
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