monitoring 標準偏差計算 star

標準偏差はどのように計算されるか

標準偏差は、値が平均から平均してどれだけ離れているかを測る指標です。手順は次の通りです: データセットの平均を求める; 各値からこの平均を引き、その結果を2乗する（これによって負の符号が消え、大きな差ほど重く重み付けされる）; それらの2乗差の平均を取って分散を得る; そして平方根を取って元の単位に戻すと、標準偏差が得られます。

具体的に、データセット2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9（n = 8）を考えます。平均は5です。平均からの偏差は-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4であり、それぞれを2乗すると9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16となり、合計は32になります。これをn = 8で割ると母集団分散4が得られ、平方根を取ると母集団標準偏差2が得られます。同じ合計32を代わりにn-1 = 7で割ると標本分散は約4.57となり、標本標準偏差は約2.14になります — まったく同じ数値から得られたにもかかわらず、母集団の値より明らかに大きくなります。

この差は丸め誤差の癖ではありません。これはベッセルの補正です。真の母集団平均を知る代わりに標本から平均を計算すると、その標本平均は構造上、その特定の標本における2乗偏差の合計を最小化する値になります — そのため、それを中心に散らばりを測ってnで割ると、真の母集団分散を体系的に過小評価してしまいます。nの代わりにn-1で割ることでこの下方バイアスを補正します。だからこそ、データが集団全体ではなく、より大きな集団の代わりとなる部分集合である場合には常に標本の公式が使われるのです。

知っておくべきこと

母集団（÷n）は、あなたのデータがすでに関心のある集団のすべてのメンバーを網羅している場合に使います — 特定の1クラスの生徒30人全員、特定の1バッチの製品全部のように。標本（÷n-1）は、あなたのデータが、完全には測定していないより大きな集団について何かを推定するために使われる部分集合である場合に使います — 国全体の人口の代わりとなる500人の調査、一般的な現象の代わりとなる一握りの実験測定のように。標準偏差は元のデータと同じ単位（キログラム、秒、点数）で表されますが、分散は2乗単位であり直接解釈しづらいものです — これこそが、分散ではなく標準偏差が通常報告される数値である理由です。おおむね釣鐘型（正規分布）のデータでは、値の約68%が平均から標準偏差1つ分以内に、約95%が2つ分以内に収まります。これは、ある値が典型的な値からどれほど異常に離れているかを素早く判断する方法になります。