حاسبة الانحراف المعياري
احسب المتوسط والتباين والانحراف المعياري (للمجتمع والعينة) لمجموعة بيانات فوريًا.
1,220 مشاهدة
كيف يُحسب الانحراف المعياري
يقيس الانحراف المعياري بُعد القيم في المتوسط عن الوسط الحسابي. الخطوات: إيجاد المتوسط الحسابي لمجموعة البيانات؛ طرحه من كل قيمة وتربيع الناتج (وهذا يزيل الإشارات السالبة ويمنح وزنًا أكبر للفروق الأكبر)؛ حساب متوسط هذه الفروق المربّعة للحصول على التباين؛ ثم أخذ الجذر التربيعي للعودة إلى الوحدة الأصلية، وهو ما يعطي الانحراف المعياري.
بشكل ملموس، لنأخذ مجموعة البيانات 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9 (حيث n = 8). المتوسط هو 5. الانحرافات عن المتوسط هي -3، -1، -1، -1، 0، 0، 2، 4؛ وتربيع كل منها يعطي 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16، ومجموعها 32. قسمة هذا المجموع على n = 8 تعطي تباين مجتمع قدره 4، وأخذ الجذر التربيعي يعطي انحرافًا معياريًا للمجتمع قدره 2. أما قسمة المجموع نفسه 32 على n-1 = 7 فتعطي تباين عينة يبلغ نحو 4.57، وانحرافًا معياريًا للعينة يبلغ نحو 2.14 — وهو أكبر بشكل ملحوظ من قيمة المجتمع رغم أنه مُشتق من الأرقام نفسها تمامًا.
هذا الفرق ليس نتيجة تقريب عشوائي؛ إنه تصحيح بيسل (Bessel's correction). فعندما تحسب المتوسط من عينة بدلًا من معرفة متوسط المجتمع الحقيقي، يكون متوسط العينة، بحكم طريقة حسابه، هو القيمة التي تُدني مجموع الانحرافات المربعة لتلك العينة تحديدًا — لذا فإن قياس التشتت حولها وقسمته على n يُقلّل بشكل منهجي من تقدير تباين المجتمع الحقيقي. القسمة على n-1 بدلًا من n تصحح هذا التحيّز نحو الانخفاض، ولهذا تُستخدم صيغة العينة كلما كانت بياناتك مجموعة فرعية تمثّل مجموعة أكبر، لا المجموعة بأكملها.
ما ينبغي معرفته
يُستخدم أسلوب المجتمع (÷n) عندما تغطي بياناتك بالفعل كل فرد في المجموعة التي تهمك — كل الطلاب الثلاثين في فصل معين، أو كل المنتجات في دفعة إنتاج معينة. أما أسلوب العينة (÷n-1) فيُستخدم عندما تكون بياناتك مجموعة فرعية تُستخدم لتقدير شيء عن مجموعة أكبر لم تقسها بالكامل — استطلاع رأي من 500 شخص يمثّل تعداد بلد بأكمله، أو حفنة من قياسات المختبر تمثّل ظاهرة عامة. يُعبَّر عن الانحراف المعياري بنفس وحدة البيانات الأصلية (كيلوغرامات، ثوانٍ، نقاط)، على عكس التباين الذي يكون بوحدات مربّعة ويصعب تفسيره مباشرة — ولهذا السبب بالتحديد يكون الانحراف المعياري، لا التباين، هو الرقم الذي يُذكر عادة. بالنسبة للبيانات ذات التوزيع الجرسي (الطبيعي) تقريبًا، يقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين، وهذه طريقة سريعة للحكم على ما إذا كانت قيمة معينة بعيدة بشكل غير معتاد عن المعدل الطبيعي.
الأسئلة الشائعة
أستخدم أسلوب المجتمع أم العينة؟
إذا كانت بياناتك تغطي المجموعة بأكملها التي تهمك (كل طالب في فصل واحد، كل وحدة في دفعة واحدة)، استخدم أسلوب المجتمع (÷n). أما إذا كانت مجموعة فرعية تمثّل مجموعة أكبر لم تقسها بالكامل (استطلاع رأي، حفنة من قراءات المختبر)، فاستخدم أسلوب العينة (÷n-1)، الذي يعطي تقديرًا أكبر قليلًا وغير متحيز للتباين الحقيقي لتلك المجموعة الأكبر.
ما هو تصحيح بيسل ولماذا نقسم على n-1 في حالة العينة؟
متوسط العينة نفسه هو، بحكم تعريفه، القيمة الأقرب إلى جميع نقاط تلك العينة — لذا فإن قياس التشتت حولها وقسمته على n يُقلّل من تقدير تباين المجتمع الأوسع الذي جاءت منه. القسمة على n-1 بدلًا من ذلك تصحح هذا التحيّز المنهجي نحو الانخفاض، ولهذا تنتج صيغة العينة دائمًا رقمًا أكبر قليلًا من صيغة المجتمع على البيانات نفسها.
ماذا يعني انحراف معياري قدره 5؟
تقع القيم النموذجية ضمن نحو ±5 من المتوسط. بالنسبة للبيانات شبه الطبيعية (ذات التوزيع الجرسي)، يقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين — لذا فإن أي قيمة تبعد أكثر من انحرافين معياريين تُعد فعلًا استثنائية لتلك المجموعة من البيانات.
ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟
التباين هو متوسط المسافة المربعة عن المتوسط، لذا فإن وحدته مربعة (مثل كغ² إذا كانت البيانات بالكيلوغرام) ويصعب تفسيرها مباشرة. أما الانحراف المعياري فهو الجذر التربيعي للتباين، ويُعبَّر عنه بنفس وحدة البيانات الأصلية — ولهذا يكون هو الرقم الذي يذكره الناس فعليًا، لا التباين.
هل تغيّر قيمة متطرفة واحدة الانحراف المعياري كثيرًا؟
نعم، وبشكل غير متناسب. ولأن كل انحراف يُربَّع قبل حساب المتوسط، فإن قيمة بعيدة عن المتوسط تُسهم في المجموع أكثر بكثير من قيمة نموذجية — قيمة متطرفة واحدة يمكن أن تُضخّم الانحراف المعياري بشكل ملحوظ حتى في مجموعة بيانات متقاربة بشكل عام.
أدوات مشابهة
الإبلاغ عن مشكلة
حاسبة الانحراف المعياري
التعليقات
لا توجد تعليقات بعد — كن أول من يكتب تعليقًا!